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55357.Re: 多様体の座標近傍となる必要十分条件  
名前:カッティ    日付:2018年03月15日(木) 17時14分
φ(x)=
x・・・xが有理数
x/2・・・xが無理数
のとき{(R,φ)}はRのC^∞級座標近傍系になりますでしょうか。
ご教授の程よろしくお願いいたします。


φ(x)はR→Rの全単射で逆写像は
φ(x)^(-1)=
x・・・xが有理数
2x・・・xが無理数
R→Rで行き先のRには自然な位相Oが入っている。
R→Rで出発側のRにはΦ(x)^(-1)による商位相が入っている。
このとき、φはC^∞級微分同相写像になりますでしょうか。
(馬鹿猫/質問者)
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54405.Re: 多様体の座標近傍となる必要十分条件  
名前:カッティ    日付:2018年02月05日(月) 19時50分
Original Size: 621 x 34, 10KB

ICNS様 ご回答ありがとうございます。

R’には、暗黙に図のような目盛りが入っていて、Φ^(-1)で引き戻すと、
図のようになると認識しました。
Rの普通の目盛りは(R’との座標変換がC^r級でないので)入っていないという認識です。

連続性がよくわからないですが、多様体Mの座標近傍系に属する座標近傍が1つだけだと、
C^∞級になると思いました。

もやもやしたのが解決しました。
(馬鹿猫/質問者)
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54386.Re: 多様体の座標近傍となる必要十分条件  
名前:ICNS    日付:2018年02月05日(月) 00時11分
良い例ですね。

今、
R'と書いたら T による座標近傍系の構造が入った R のこと、
単に R と書いたら通常の座標近傍系の構造が入った R のこと、
としましょう(上記、「R」の意味が2種類入り混じった文章ですが、伝わると思います)。

質問は、V として R' 自身を、V' として R 自身を取ったとき、
φ: V → V'; φ(x) = x^3
が微分同相写像ではないのではないか? とすると、C^r 級座標近傍の必要十分条件を満たさないのではないか? ということですね。

結論から言うと、これは微分同相写像です。
φ^{-1} が微分可能かどうかの判定は、R' の座標近傍系を用いて行われるので、パッと見て微分不可能なφ^{-1} が実は微分可能なのです。
(社会人/回答者)

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54382.多様体の座標近傍となる必要十分条件  
名前:カッティ    日付:2018年02月04日(日) 19時35分
Size: 261KB

Cr級多様体の座標近傍となるための必要十分条件が
多様体の定義の条件より強い気がするのですが、
公式の意味がわからないです。

ご教授のほどよろしくお願い致します。
(馬鹿猫/質問者)
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