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54318.Re: 2重積分  
名前:Delta    日付:2018年01月31日(水) 01時02分
積分範囲を図示すると分かりやすいです。
(1)の積分範囲は
D={(x,y)|0≦x≦1,x≦y≦1}と表すことができます。
これはD={(x,y)|0≦x≦y,0≦y≦1}とも表すことができるので、
xの積分範囲を[0,y],yの積分範囲を[0,1]とすることで積分順序の入れ替えができます。

(2)の積分範囲は
D={(x,y)|0≦x≦π/2,0≦y≦x}={(x,y)|y≦x≦π/2,0≦y≦π/2}だから
xの積分範囲を[y,π/2],yの積分範囲を[0,π/2]とすることで積分順序の入れ替えができます。

確かに積分順序を入れ替えなくても積分の計算はできますが、今回の問題では
積分順序を入れ替えることで計算量が減り、時間を短縮したり計算ミスを減らしたりという利点があります。

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54315.Re: 2重積分  
名前:X    日付:2018年01月30日(火) 22時32分
(1)
I=∫[x→1]{√(1-y^2)}dy
と置くと、部分積分により
I=[y√(1-y^2)][x→1]+∫[x→1]{(y^2)/√(1-y^2)}dy
=-x√(1-x^2)+∫[x→1]{{1-(1-y^2)}/√(1-y^2)}dy
=-x√(1-x^2)+∫[x→1]dy/√(1-y^2)-I
=-x√(1-x^2)+π/2-arcsinx-I
∴I=-(1/2)x√(1-x^2)+π/4-(1/2)arcsinx
となります。

(2)
何故積分順序を変換したいかが不明です。
もし積分順序を変換しないと計算できないということであれば、
変換しなくても以下の方針で計算できます。
(与式)=∫[x:0→π/2](sinx)∫[y:0→x]{(3siny-sin3y)/4}dydx
((∵)三倍角の公式)
=(1/4)∫[x:0→π/2](sinx)[-3cosy+(1/3)cos3y][y:0→x]dx
=(1/4)∫[x:0→π/2](sinx)(-3cosx+(1/3)cos3x+8/3)dx
=…
(展開して、二倍角の公式、積和の公式を使って
整理をしましょう。)
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54309.2重積分  
名前:のだ    日付:2018年01月30日(火) 17時11分
Original Size: 1075 x 195, 47KB

(1)はやってみたところy√1-y^2 の部分積分に持っていくと思ったのですがうまく解けませんでした
(2)はxの積分範囲にπ/2があってどうすれば積分順序変換すればいいかわかりません
(1)(2)について教えていただきたいです
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