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54307.Re: シロー部分群  
名前:naka    日付:2018年01月30日(火) 12時28分
ここで言っているシローp部分群というのは極大シローp部分群のことでしょうか。それならば次のように証明できます。

(1)n! は 1<n≦3 ならば 2 で1回だけ割り切れて、n≧4 ならば 2 で 3 回以上割り切れる。つまり #Sn=n!=2^km (k:自然数, m:奇数)と表したとき k≠2 である。よって p は奇素数。したがって p≧3 なので、n! が p で2回割り切れる必要十分条件は n≧2p であり、n! が p で3回割り切れる必要十分条件は n≧3p なので n の範囲は 2p≦n<3p である。

(2)シローp部分群を G とする。位数が素数冪の群は中心が自明ではないので #Z(G)=p または #Z(G)=p^2 である。(Z(G) は G の中心。)#Z(G)=p のとき Z(G),G/Z(G) はともに位数 p の巡回群なので Z(G) の生成元を a, G/Z(G) の生成元の代表元を b とすると G の元は全て a^kb^l (0≦k,l<p) の形で書けて a∈Z(G) より a と b は可換なので G は可換群であり、#Z(G)=p^2 となり、矛盾する。したがって初めから Z(G)=p^2、つまり G は可換群である。アーベル群の基本定理より G は C_(p^2) または C_p×C_p に同型(C_n は位数 n の巡回群)であるが、G⊂Sn で n<3p≦p^2 より前者はありえない。よって G は C_p×C_p と同型な群である。

(3) Sn の中で位数 p の元は全て互いに共役なのでもし G が正規部分群ならば位数 p の元は全て G に含まれる。しかし、位数 p の元の個数は C[n,p]×(p-1)! 個なので n≧2p,p≧3 であることから明らかに p^2 より多い。よって G は正規部分群ではない。
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54290.シロー部分群  
名前:質問です    日付:2018年01月28日(日) 11時32分
pは素数とし、n次対称群Snのpシロー部分群の位数がp^2とする。
(1) pは奇素数であることを示し、nの範囲を求めよ
(2) Snのpシロー部分群の群としての構造を決定せよ
(3) シローp部分群はSnの正規部分群にはならないことを示せ
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