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54277.Re: ガロワ拡大  
名前:通りすがり    日付:2018年01月27日(土) 07時22分
ast さん

投稿した後に気づきましたが,

「(1) = 最小分解体」は誤りです.最小分解体を含む体ならば,必ず (1) を満たしますので.
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54276.Re: ガロワ拡大  
名前:通りすがり    日付:2018年01月27日(土) 07時17分
ast さん

非常に細かい点で恐縮ですが,

> 分解体 = (2) とする用法が一般的

は本当なのですか?例えば,岩波の数学辞典,第 4 版では (1) が定義として採用されていますが…

少なくとも,私が知っている限りのどのガロア理論に関する解説が書かれた本(J. Rotman,永田雅宜 etc)でも分解体は (1) の意味,或いは,(1) に更に最小性を課したものの意味で用いられており,(2), (3) の意味で用いている文献を見たことがありません.
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54259.Re: ガロワ拡大  
名前:ppp    日付:2018年01月25日(木) 20時05分
ast さん ありがとうございます。
アバウトな本を読んでいて困っていたところでした。
今後ともよろしくお願いします。
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54251.Re: ガロワ拡大  
名前:ast    日付:2018年01月25日(木) 13時11分
> 最小分解体でないとガロワ拡大にならない
という認識で正しいと思います. ただし, 「分解体」という用語自体にやや意味の揺れがあって
(1) f(x) が一次因子のみの積に分解できる (= 最小分解体)
(2) f(x) が可約になる (各因子は一次でなくてよい)
(3) f(x) の少なくとも一つの根を含む
の何れかの意味である場合があるので, 複数の文献を参照する場合は注意が必要になるかもしれません.

とはいえ, 分解体 = (2) とする用法が一般的なように思いますし, おそらく ppp さんのご認識もそうなのだろうと思います.
また, (3) の意味では「根体」という用語を用いることもあるようです (仏語系?) ので, 呼び分けることが難しいという話でもないのだと思います (きっと, 古くから各地で研究されてきた内容なので, 用語や概念が英独仏あたりの複数ルートから日本に入ってきて, その名残なのでしょう).
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54242.ガロワ拡大  
名前:ppp    日付:2018年01月24日(水) 21時48分
いつもお世話になっています。
ガロワ拡大について不明な点が在りますので教えてください。

Fを数体とし、代数拡大F⊂K⊂Lとします。f(x)はF係数の分離多項式とし
Kはその分解体とします。また、LはFのガロワ拡大とします。
このとき、KはFのガロワ拡大になるのでしょうか?

最小分解体でないとガロワ拡大にならないように思えるのですがいかがでしょうか。
よろしくお願いします。
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「54242.ガロワ拡大」への返信


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