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54238.Re: 偏導関数  
名前:ありらん    日付:2018年01月23日(火) 16時14分
理解できました!ありがとうございました!
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54237.Re: 偏導関数  
名前:Delta    日付:2018年01月23日(火) 11時53分
確かにさる様のおっしゃる通りですね。
改めて調べてみましたが、確かにさるさんの解釈で間違いありません。

関数gに対し、
∂g(u(x,y),v(x,y))/∂y
という表記はおかしいと頭にあったのでそれと混同してしまいました...。

質問者様、失礼いたしました。
さる様、ご指摘ありがとうございます。

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54232.Re: 偏導関数  
名前:さる    日付:2018年01月23日(火) 09時22分
>g(u(x,y),v(x,y))のyに関する偏導関数はない、もしくは0です。
これは標準的な言い方ではないと思います。

g(u,v)という形でgがu,vの関数として定義されているので、gのy偏導関数という言い方がおかしいというのはわかります。

ただ、g(u(x,y),v(x,y))と表記されたものは、x,yを変数とする関数(合成関数)と解釈するのが標準的だと思うのですが、どうですかね?
F(x,y)=g(u(x,y),v(x,y))
と置いたとき、左辺はx,yの関数であり、右辺はx,yの関数ではないというのは分かりにくいと思います。

もちろん、偏微分に限らず、合成関数を考えるときは、代入と微分作用素の順序や、関連して、偏導関数と偏微分作用素の混同に気を付けなければならないわけではありますが。
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54226.Re: 偏導関数  
名前:Delta    日付:2018年01月22日(月) 21時21分
偏微分は意外と表記上で厳しいところがあるので、
注意してください。
g(u,v)はあくまでもu,vの関数なので、
g(u(x,y),v(x,y))のyに関する偏導関数はない、もしくは0です。

質問者様の聞きたいことはF(x,y)=g(u(x,y),v(x,y))としたときの
Fのyに関する偏導関数だと思いますのでそれを求めていきます。
誤解があったら申し訳ないですが、u(x,y)=x√y,v(x,y)は逆三角関数だと思いますのでそう考えて解きます。

このとき、F(x,y)=(arcsin(x))^(x√y)=f(x)^(√y) (f(x)=(arcsin(x))^x)と表すことができます。
以下、F[y]をFをyで偏微分したものとします。この表記は他の関数、変数にも同じように定めます。
t=√yとおくと F=f^s となるので
F[y]=(f^s)[s]s[y] となります。(これはどの偏微分もxという同一の文字を固定しているため成立します。)
(f^s)[s]=f^s*log(f),s[y]=1/(2√y)なので
F[y]=f^s*log(f)*1/(2√y) このf,sをx,yで表すと
F[y]=(arcsin(x))^(x√y)*x*log(arcsin(x))/(2√y) となります。

もしかしたら計算ミスをしているかもしれませんが、概ねこんな感じだと思います。

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54214.偏導関数  
名前:ありらん    日付:2018年01月22日(月) 19時41分
u(x,y)=x(y)^1/2 v(x,y)=sin^-1x g(u,v)=v^uとする。g(u(x,y),v(x,y))のyに関する偏導関数を計算せよ。

面倒臭いかと思いますができるだけ細かい途中式もお願いします
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