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54299.Re: 線形代数の問題  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年01月29日(月) 09時24分
横レス失礼致します.

最小多項式の概念を御存じであれば,問題を次の様に考えることも出来ます.一度読み込んでみて下さい.
___________________________________________

[証明の概略]
以下では,Aにより定まる線形写像C^n∋x→Ax∈C^nのことをf_[A]と表すことにする.この時,下記のことが順に言える:


@C^nの基底を,Wの基底を含む様に適当に選ぶ.この時,今与えられたC^nの基底に関するf_[A]の表現行列は,[[B,C],[O,D]]の形で表わされる.ここで,B,Dは正方行列,Cは適当なサイズの行列,Oは零行列である.さらに,Bは「f_[A]のWへの制限f_[A]|Wの,今与えられたWの基底に関する表現行列である.


A@の事実により,f_[A]の最小多項式m_[f_[A]](t)はf_[A]|Wの最小多項式m_[f_[A]|W](t)で割り切れる.ところで,Aは対角化可能であるから,f_[A]の全ての相異なる固有値をλ_[1],λ_[2],...,λ_[k]とすれば,

m_[f_[A]](t)=(t-λ_[1])(t-λ_[2])…(t-λ_[k])

の様に分解される.今はm_[f_[A]|W]|m_[f_[A]]であるから,Aのある相異なる固有値

λ_[j_[1]],λ_[j_[2]],...,λ_[j_[s]](1≦j_[1]≦j_[2]≦…≦j_[s]≦k)

を用いて

m_[f_[A]|W](t)=(t-λ_[j_[1]])(t-λ_[j_[2]])…(t-λ_[j_[s]])

が成り立つ.m_[f_[A]|W]は重根を持たないから,f_[A]|Wは対角化可能である.したがって,Wはf_[A]の適当な固有値たちの固有空間により直和分解される.即ち,Wはそれらの基底を並べて得られる1次独立なベクトルたちを基底として持つ.
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54266.Re: 線形代数の問題  
名前:カッティ    日付:2018年01月26日(金) 12時08分
PS
A|W⊂Wは固有ベクトルを1つ以上持つことが言えますが、
2つ以上持つことは言えないです。
(馬鹿猫/回答者)
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54252.Re: 線形代数の問題  
名前:カッティ    日付:2018年01月25日(木) 14時10分
「」の部分証明してみました。
C^nはAの固有ベクトルv1,...,vnで張られる。
Wの基底をw1,...,wmで表すとき,あらかじめ整理しておけば、
w1=c11・v1+...+c[1,n-m]・v[n-m]+v[n-m+1]
w2=c21・v1+...+c[2,n-m]・v[n-m]+ v[n-m+2]
...
wm=cm1・v1+...+c[m,n-m]・v[n-m]+ v[n]
と表すことができる。
A|Wの固有ベクトルの一つをwmとおけば、A|W・wm =λn・vmであり、
vm=v[n]とでき、cm1=...=c[m,n-m]=0が言える。

w=d1・w1+...+dm・wmとおけば、
A・w=〜+λn・vn=〜+λn・vm∈Span<w1,...,wn>

w'=d1・w1+...+d[m-1]・w[m-1]とおけば、
A・w'=A・w-λn・vm∈Span<w1,...,w[n-1]>
A|W'・w'∈W'が言えた。
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54246.Re: 線形代数の問題  
名前:カッティ    日付:2018年01月25日(木) 11時09分
「」の部分非常にあやしいです。成り立つかわからないです。

帰納法の仮定で示す。
@dimW=1のとき
A|Wの基底をw1とすれば、A|W・w1=λ・w1∈W
w1はAの固有ベクトル

AdimW=m-1のとき
Wはn-1個のAの固有ベクトルv1...v[m-1]で張られると仮定する。

BdimW=mのとき
A|Wは固有ベクトルを1つ以上持つことが言える。
1つの固有ベクトルをwmとおく。Wの基底の一つをwmとするとき、
「適当にw1...w[m-1]を選べばW'=span<w1,...,w{m-1]>の任意の元w'に対して
A|W'・w'∈W'とできる。」
(馬鹿猫/回答者)
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54243.Re: 線形代数の問題  
名前:ねこ    日付:2018年01月24日(水) 23時17分
回答ありがとうございます。一般固有ベクトルはまだ習ってないので他の解き方があるとおもうのですが…
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54203.Re: 線形代数の問題  
名前:カッティ    日付:2018年01月22日(月) 06時20分
間違っていたらごめんなさい。

AをWに制限した線形写像をA|Wと置くと、
@WはA|Wの固有ベクトルと一般固有ベクトルで張られる。
AA|Wの固有ベクトルはAの固有ベクトルでもある。
BA|Wの一般固有ベクトルはAの一般固有ベクトルでもある。
CA(及びA|W)は、一般固有ベクトルをもたない。
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54196.線形代数の問題  
名前:ねこ    日付:2018年01月22日(月) 01時06分
Aは複素数を成分とするn次正方行列で対角化可能で、またW⊂C^n(複素n次元空間)はC^nの部分空間で任意のv∈Wに対してAv∈Wが成り立つとする。この時WはAの固有ベクトルからなる基底を持つことを示せ。
(大学 1 年)
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