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DS 数学 BBS・2
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54194.Re: 上極限 と下極限  
名前:a    日付:2018年01月21日(日) 23時34分
詳しい解説ありがとうございます。助かりました。
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54193.Re: 上極限 と下極限  
名前:naka    日付:2018年01月21日(日) 22時52分
limsup[n→∞]a[n]=lim[n→∞]sup{a[k]|k≧n}
liminf[n→∞]a[n]=lim[n→∞]inf{a[k]|k≧n}
が定義なので右辺の sup{a[k]|k≧n},inf{a[k]|k≧n} をそれぞれ求めます。
a[n] の定義より k が奇数のとき a[k]>1, k が偶数のときは a[k]<0 となることが分かるので sup を求めるときは部分列 o[k]=a[2k+1] を考えればよく、inf を求めるときは部分列 e[k]=a[2k] を考えればよいことが分かります。
o[k]=1+(1/2)^(2k+1)
より o[k] は単調減少列である。したがって ceil((n-1)/2) を (n-1)/2 以上の最小の自然数とすれば
sup{a[k]|k≧n}=sup{o[l]|2l+1≧n}=o[ceil((n-1)/2)]
となります。
e[k]=-1+(1/2)^(2k)
なので e[k] もまあ単調減少列であり、lim[k→∞]e[k]=-1である。したがって
inf{a[k]|k≧n}=-1
となります。

以上より
limsup[n→∞]a[n]=lim[n→∞]o[ceil((n-1)/2)]=lim[c→∞]o[c]=1
liminf[n→∞]a[n]=lim[n→∞]-1=-1
が分かります。
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54192.Re: 上極限 と下極限  
名前:a    日付:2018年01月21日(日) 22時42分
詳しい説明ありがとうございます。理解することができました。
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54191.Re: 上極限 と下極限  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年01月21日(日) 22時38分
以下に,解答例の概略を与えておきます.もしかしたら僅かな論理的なギャップがあるかもしれませんから,以下を一度目を通して頂いてその内容を咀嚼されることを推奨致します.
___________________________

[解答例の概略]
数列{b_[n]},{c_[n]}をそれぞれ

b_[n]=a_[2n],c_[n]=a_[2n-1](n=1,2,3,...)

により定義する.すると,{b_n},{c_n}はともに単調減少数列であり,また「任意のk,ℓ∈Nに対して,b_[k]<c_[ℓ]が成り立つ(…(*))」が言える.


さて,任意の自然数nに対して,n_0を「nが偶数ならばn_0の値をn+1,nが奇数ならばn_0の値をnとする」の様に定める.この時,n_0の定め方,{c_n}の単調減少性と(*)により,

limsup_[n→∞]a_[n]
=inf_[n≧1](sup_[k≧n]a_[k])
=inf_[n≧1]c_[n_0]
=1.


一方,{b_n}の単調減少性と(*)により,

liminf_[n→∞]a_[n]
=sup_[n≧1](inf_[k≧n]a_[k])
=sup_[n≧1](inf_[j≧n]b_[j])
=-1.
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54187.上極限 と下極限  
名前:a    日付:2018年01月21日(日) 00時56分
an=(-1)^n-1+(1/2)^n (nは自然数とする)で定義されている
それぞれのlim (n→∞)sup an及びlim (n→∞)inf anをそれぞれ求めなさい。という問題です。奇数と偶数で分けて考えるというのは分かるのですが、イマイチ考え方が分かりませんでした。よろしくお願いします。
(大学 1 年)
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