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54077.Re: テンソル積の整域性  
名前:naka    日付:2018年01月17日(水) 12時49分
ありがとうございました。
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54049.Re: テンソル積の整域性  
名前:T    日付:2018年01月16日(火) 01時19分
それなら問題ないと思います。

先ほどの回答の「B○C 自身に」は「C[x_1,...,x_n] 自身に」でした。訂正します。
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54042.Re: テンソル積の整域性  
名前:naka    日付:2018年01月15日(月) 23時43分
なるほど。確かにそうですね。ありがとうございます。

もともと考えている問題ではA-代数のときに考える準同型 A→B は単射であるという仮定を入れることができるので P' は全体にならないという議論ができそうです。この仮定の下で P' が全体にならない証明を書いておくので、もしまだ問題があればお教えください。

(証明)
P' が全体と一致すると仮定すると C[x_1,...,x_n] 上単元であるような元 a∈P が存在する。C[x_1,...,x_n] の単元は C の単元に他ならないので a は A の非零元である。このとき A→B は核に a≠0 を含むので単射ではない。これは矛盾である。
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54032.Re: テンソル積の整域性  
名前:T    日付:2018年01月15日(月) 20時34分
(1)だけですが
P' が B○C 自身にならないかどうかの議論が抜けてますね。
実際、例えば A=Z, B=Z[x]/(2) などとすると
B○C={0} となり、反例が確認できます。
(回答者)
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54022.Re: テンソル積の整域性  
名前:naka    日付:2018年01月14日(日) 23時19分
P'が素イデアルとなることの証明の部分がかなりミスっているので書き直します。

f,g∈C[x_1,...,x_n] で fg∈P' と仮定します。f,g の分母を払ったものを f',g'∈A[x_1,...,x_n] とすれば f'g' は P の元となり、f'∈P または g'∈P が成り立ちます。このとき f∈P' または g∈P' となるので P' は素イデアルである。

という証明です。すみません。
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54020.テンソル積の整域性  
名前:naka    日付:2018年01月14日(日) 23時15分
A:環、B,C:A-代数 とします。このとき B,C がともに整域ならばこの二つのテンソル積を取って得られる環 B○C (テンソル積の記号として○を使います。)が整域になるかどうかの判断について質問です。

B○C が一般に整域にならないことは A を有理数体 Q, B を Q 上の多項式環 Q[x] を x^2+1 で生成される素イデアルで割った剰余環 Q[x]/(x^2+1), C を複素数体 C として考えてみれば分かりました。

次に A も整域であると仮定して B は A 上の有限生成 B-代数、C が A の商体の場合を考えます。このときは B○C は整域となると思うのですが、正しいでしょうか?正しいと考えた理由は以下の通りです。
B は有限生成 A-代数なので A 上の多項式環 A[x_1,x_2,...,x_n] をこの多項式環のある素イデアル P で割った剰余環と同型になります。このとき B○C は C 上の多項式環 C[x_1,x_2,...,x_n] を P をこの環の部分集合とみなして P で C[x_1,x_2,...,x_n] 上生成されるイデアル P' で割ったものとなるので、この P' が素イデアルならば B○C は整域です。P' に含まれない f,g∈C[x_1,...,x_n] で fg∈P' となるものが存在します。f,g の分母を払ったものを f',g'∈A[x_1,...,x_n] とすれば f'g' は P の元となり、f'∈P または g'∈P が成り立ちます。このとき f∈P' または g∈P' となるので P' となる。という証明ができると思ったからです。

質問は次の2点です。
(1)上の証明は正しいでしょうか。また一般的な事実等を使った別の証明はありましたらご紹介いただけるとありがたいです。
(2)一般にテンソル積を取った時に整域になるかどうかの判定法などは存在するのでしょうか。ご存知でしたらご紹介ください。

どちらか片方だけでも何かありましたご回答ください。よろしくお願いします。
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