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53982.Re: テンソル積  
名前:テンソル積    日付:2018年01月13日(土) 03時34分
はい、テンソル積はZ上でとるものとして考えています。

まずは、astさんのご回答をしっかりと読んでみます。
(大学 2 年)
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53980.Re: テンソル積  
名前:ast    日付:2018年01月13日(土) 03時16分
確認するのを忘れていましたが, テンソル積は Z 上でとるのであってますよね?

そうだとして, おそらく φ: Z/4Z × Z/10Z → Z/2Z を φ(a mod 4, b mod 10) = ab mod 2 (a, b ∈ Z) で定めれば, たぶんこれが同型 Z/4Z ⊗ Z/10Z ≅ Z/2Z を導く双線型写像でいいはず. φ が写像としてwell-definedなことと, 誘導された線型写像が全単射となることはご自身で確かめてください (私は確かめていないので, おかしかったらごめんなさい).

# 少なくとも (a mod 4)⊗(b mod 10) = ab(1 mod 4)⊗(1 mod 10) は
# ab mod 4 = n mod 4 かつ ab mod 10 = n mod 10
# となるような n に対し常に同じ元を表さないといけないので,
# 像に現れる mod 2 はそのような理由からくるものです.
# 同様な理由で, 一般に Z/mZ ⊗ Z/nZ ≅ Z/(m,n)Z (注: (m,n) は m,n の最大公約数) になるはず (たぶん).
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53965.Re: テンソル積  
名前:テンソル積    日付:2018年01月12日(金) 20時48分
すみません、もともとはテンソル積Z/4Z ⊗ Z/10Z が何と同型かという問題でした。
(大学 2 年)
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53959.Re: テンソル積  
名前:ast    日付:2018年01月12日(金) 19時11分
やや箇条書きにしますが
(1) > 「元の対応」
というのが何を意図しているのか意味が取れません. 例えば Z/4Z ⊗ Z/10Z の元が分からない (対応という言葉に特に意味はない) という意味でしょうか? それとも Z/4Z ⊗ Z/10Z の元と「別の何かの集合」の元との対応が分からないという意味? 後者ならば何と比べたいのか書かれないとわかりません. 前者ならば, Z/4Z × Z/10Z の全ての元から生成されます (もちろん, 所定の基本関係を満たすので, 使わなくて済むようにできる元も出てきますが).
(2) 「「任意の」Z加群への双線形写像」ということなら作れないのがむしろ当然ではないでしょうか (具体的なZ加群や双線型写像に依存した議論になってはいけないので). 何か写像を作るという話になるとしたら, Z/4Z × Z/10Z 上の任意に与えられた双線型写像が Z/4Z ⊗ Z/10Z 上の線型写像を導くという議論をすべき所なのではありませんか?

(1)(2) の質問はそもそもどのような疑問を考えているのかよくわかりません (問題点の切り取り方が不適切という状況だと思います) ので, 少なくとも取り組んでいる課題を問題そのままの形で提示してください.

(3) (C ⊗_R C)[x,y] に同型になるはずです. この係数環 C ⊗_R C は R 上 1⊗1, 1⊗i, i⊗1, i⊗i で生成される四次元の代数 (≅ < 1,i,j,k | i^2=-1, j^2=-1, k^2=+1 >_R) でおそらく bicomplex number とか呼ばれるものだと思います.

# C[x] ⊗_R C[y] ≅ (C ⊗_R R[x]) ⊗_R (C ⊗_R R[y]) を経由して
# R[x] ⊗_R R[y] ≅ R[x,y] を利用するのが分かりやすいかと.
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53941.テンソル積  
名前:テンソル積    日付:2018年01月12日(金) 05時23分
@テンソル積 Z/4Z ⊗ Z/10Z における「元の対応」はどのようになっているのでしょうか?

A直積 Z/4Z × Z/10Z から任意のZ加群への双線形写像も どのように作ればよいか分かりません.

Bまた, 多項式環どうしのテンソル積 ℂ[x] ⊗_ℝ ℂ[y] は何と同型でしょうか?


初学者なので加群のテンソル積がいまいち掴み切れません・・・
(大学 2 年/質問者)
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