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53955.Re: 可測集合の質問  
名前:数学弱者    日付:2018年01月12日(金) 15時22分
sphereさん、ご回答ありがとうございます。

もしかしたら問題文の誤りで、sphereさんのおっしゃる外測度の正則性の条件のことを言いたかったのかもしれません。

確認してみます。

証明概略までつけてくれましてありがとうございます。
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53939.Re: 可測集合の質問  
名前:sphere    日付:2018年01月12日(金) 04時30分
こんばんは.

私も少し考えているのですが, 与えられた条件の下では, 証明がうまく走りません.
次の強い条件

「任意のA⊂Xに対して, A⊂E かつ Γ(E)=Γ(A)を満たすΓ可測集合Eが存在する・・・(*)」

があると証明出来るのですが(この性質を(外)測度の正則性と呼ぶ本もある)...
参考までに証明概略を書いておきます.

まず, 外測度の単調性に注意します. すると,
A_j↑A=∪[j=1,∞]A_j より
Γ(A_j)はjについて単調非減少かつ任意のjについてΓ(A_j)≦Γ(A)が分かります.
よって lim[j→∞]Γ(A_j)≦Γ(A)です. 後は逆向きの不等式を示せば良い.

条件(*)より, Γ可測集合の列{B_j}で各jに対して, A_j⊂B_jかつΓ(A_j)=Γ(B_j)
を満たすものが存在する. 各jに対してC_j=∩[i=j]B_iとおくと, A_j⊂C_jが成り立ち,
C_jはjについて増大するΓ可測な集合列になる. また, 任意のjに対して
Γ(A_j)=Γ(C_j)が成り立つ(自分で確認してみて下さい).

よって lim[j→∞] Γ(A_j)= lim[j→∞] Γ(C_j)= Γ(∪[j=1,∞]C_j)≧Γ(A)である.
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53938.Re: 可測集合の質問  
名前:数学弱者    日付:2018年01月12日(金) 02時56分
ご指摘ありがとうございます。

確かにA_jがΓ可測でなければ成立しませんでした。

そこで、Γ(A_j)=Γ(E_j)なるΓ可測集合E_jが取れることを利用して解こうとしていますが、{E_j}が増大列であるかが分からず困っています。

{A_j}は増大列なので、j<kならばΓ(A_j)≦Γ(A_k)だとわかりますが、Γ(E_j)≦Γ(E_k)だからと言って、{E_j}は増大列であるか分からず、

Γ(∪[k=1,∞]A_k)=Γ(∪[k=1,∞]E_k)であることも必ずしも言えないと思うので、どこから手をつければよいか分かりません。

どうすればよいのでしょうか?
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53927.Re: 可測集合の質問  
名前:sphere    日付:2018年01月11日(木) 17時34分
質問に答えて頂き有難うございます.

A_j達はΓ可測とは限らないということですね.
だとすると

「Γ(A)=Γ(∪[k=1,∞]A_k)
=lim[j→∞]Γ(∪[k=1,j]A_k)
となるので、」

この主張はどうやって証明するのでしょうか?
A_j達がΓ可測であればもちろん正しい主張なのですが,
いまΓ可測性は保証されていません.
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53921.Re: 可測集合の質問  
名前:数学弱者    日付:2018年01月11日(木) 12時42分
sphereさん。すみません。

A_j達はXの部分集合です。
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53912.Re: 可測集合の質問  
名前:sphere    日付:2018年01月11日(木) 01時12分
こんばんは.

問題について少し気になる箇所があります.

「この時、A_j↑A=∪[j=1,∞]A_jならばΓ(A_j)↑Γ(A)であることを示せ。」

A_j達はXの部分集合なのですか? それともΓ可測集合なのですか?
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53911.可測集合の質問  
名前:数学弱者    日付:2018年01月11日(木) 00時52分
ルベーグ積分論で質問があります。

・問題
ΓをX上の外測度、M_ΓをΓ可測集合全体とする。さらに「任意のA⊂Xに対して、∃E∈M_Γ s.t. Γ(E)=Γ(A)が存在する」と仮定する。

この時、A_j↑A=∪[j=1,∞]A_jならばΓ(A_j)↑Γ(A)であることを示せ。

Γ可測集合に含まれるEとは、任意のA⊂Xに対してΓ(A)=Γ(A∩E)+Γ(A∩E^c)を満たすものです。要するにΓ可測集合はカラテオドリの可測集合のことです。

私の考えた解答としては、

Γ(A)=Γ(∪[k=1,∞]A_k)
=lim[j→∞]Γ(∪[k=1,j]A_k)
となるので、{A_j}は増大列より、
∪[k=1,j]A_k=A_jとなるので、

lim[j→∞]Γ(∪[k=1,j]A_k)
=lim[j→∞]Γ(A_j)となるので、

Γ(A_j)↑Γ(A)が示された。

ですが、問題文に与えられている、Γ可測集合などを全く用いていないので違和感を感じます。
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