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53920.Re: べき級数  
名前:aspect    日付:2018年01月11日(木) 09時27分
回答してくれましてありがとうございました。
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53886.Re: べき級数  
名前:Delta    日付:2018年01月09日(火) 17時59分
@
任意のM>0に対し、NをN≧Mとなる最小の整数とする。
このとき、0<1-z<1-(1/2)^(2^(-2N))を満たすzに対して

f(z)=1+Σ[n=1,∞]z^(2^n)
>1+Σ[n=1,2N]z^(2^n)
>1+Σ[n=1,2N](1/2)^(2^(n-2N)) (∵z>(1/2)^(2^(-2N)))
>1+Σ[n=1,2N](1/2)
=1+N>M

よってlim[z->1-0]f(z)=+∞

A
f(z)=1+Σ[n=1,∞]z^(2^n)
f(z^2)=1+Σ[n=1,∞]z^(2^(n+1))=1+Σ[n=2,∞]z^(2^n)
より
f(z)=z^2+f(z^2)

B
lim[z^2->1-0]f(z)=lim[z^2→1−0]{z^2+f(z^2)}
z^2=uとすると
lim[z^2->1-0]{z^2+f(z^2)}=lim[u->1-0]{u+f(u)}
@からlim[u->1-0]f(u)=∞なので
lim[u->1-0]{u+f(u)}=∞
以上より lim[z^2->1-0]f(z)=∞

失礼いたしました...

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53882.Re: べき級数  
名前:Delta    日付:2018年01月09日(火) 16時16分
ごめんなさい、完全に見落としていました。
解きなおします。

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53881.Re: べき級数  
名前:らすかる    日付:2018年01月09日(火) 16時09分
1/(1-z^2) となるのは 1+z^2+z^4+z^6+…+z^(2n)+… の場合では?
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53878.Re: べき級数  
名前:Delta    日付:2018年01月09日(火) 14時15分
訂正です。
B任意のMに対し と書いておりますが@と同様にM>0です。

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53877.Re: べき級数  
名前:Delta    日付:2018年01月09日(火) 14時13分
※zを実数として解いています。

|z|<1なるzに対してf(z)=1/(1-z^2)と表すことができる。
@
任意のM>0に対し、0<1-z<min{1/(2M),1}とすると
f(z)=1/(1-z^2)=1/{(1+z)(1-z)}>1/{2(1-z)}>M であるから
lim[z->1-0]f(z)=+∞

A
成立しません。
反例 z=1/√2とすると
f(z)=2,z^2+f(z^2)=1/2+4/3=11/6よりf(z)≠z^2+f(z^2)

B
任意のMに対し、0<1-z^2<1/Mとすると
f(z)=1/(1-z^2)>M であるから
lim[z->1-0]f(z)=+∞

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53876.べき級数  
名前:aspect    日付:2018年01月09日(火) 02時12分
f(z)=1+z^2+z^4+z^8+・・・+z^(2^n)+・・・

について、

@lim(_z→1−0)f(z)=+∞
A|z|<1に対して、f(z)=z^2+f(z^2)
Blim(_z^2→1−0)f(z)=+∞

であることを示したいのですが、どのように解けば良いのでしょうか?
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