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53867.Re: 外測度A  
名前:数学弱者    日付:2018年01月08日(月) 15時54分
問題文のエラーに関しては、問題の作成者に連絡したいと思います。

証明も訂正したいと思います。

ご指摘ありがとうございました。
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53866.Re: 外測度A  
名前:ぽけっと    日付:2018年01月08日(月) 15時01分
本質的に正しいことをしていて,ほぼ問題ないと思います

2点気になった点を挙げると
I) 「又,0<ε0<εとなるε0をとり」とした後,最後に「ε0を十分小さくとれば」と書いている点.
最初の一文はε未満の範囲で任意にε0を取っていると解釈できるので,間違ったことはしていないのですが,はじめから
「0<ε0<inf{...}+ε-Σ(qj-pj)」をとり」と書けばいいと思います

II) 細かい話ですが,問題文に若干の不備があります.たとえば(3,-2]は空集合で,Aを包む(aj,bj]の中に混じっていても問題はないはずです.しかしこれを許すとΣ(bj-aj)の部分で変なことがおこりinfを取るとかならず-∞になるという自明なエラーがあります.
なので問題文の時点で「ただしaj<bj」みたいな注意書きが必要.証明においても同じような注意書きをつける必要があります.
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53864.Re: 外測度A  
名前:数学弱者    日付:2018年01月08日(月) 14時14分
最後の一文が抜けていました。

m*(A)≦inf{Σ[j=1,∞](b_j−a_j):A⊂∪[j=1,∞][a_j,b_j]}とm*(A)≧inf{Σ[j=1,∞](b_j−a_j):A⊂∪[j=1,∞][a_j,b_j]}

となるので、m*(A)=inf{Σ[j=1,∞](b_j−a_j):A⊂∪[j=1,∞][a_j,b_j]}

すみません。
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53863.外測度A  
名前:数学弱者    日付:2018年01月08日(月) 14時11分
Original Size: 1700 x 2338, 361KB

教えてgooでも同じ質問をしましたが、改めて解いてみました。

閉区間で覆った場合と半開半閉区間で覆った場合が等しくなるという証明をしたのですが、

写真の解き方で間違いはありませんでしょうか?

すみません。写真の四角の式は[a_j,b_j]ではなく、[p_j,q_j]でした。

問題文は以下の通りです。

A⊂Rに対してm*(A)=inf{Σ[j=1,∞](b_j−a_j):A⊂∪[j=1,∞](a_j,b_j]}とおく。

この時、m*(A)=inf{Σ[j=1,∞](b_j−a_j):A⊂∪[j=1,∞](a_j,b_j)}=inf{Σ[j=1,∞](b_j−a_j):A⊂∪[j=1,∞][a_j,b_j]}となることを示せ。

すなわち、Aの覆い方は開区間、閉区間、半開半閉区間のどれでもよい。
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