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53806.Re: 定積分0→2π  
名前:らすかる    日付:2018年01月06日(土) 15時29分
0→2πから0→π/2にするときに4倍していますが、
それを4倍しないで最初から0→π/2にするだけです。
1/4ですから答えはπ/32になります。

i223-217-117-170.s41.a010.ap.plala.or.jp (223.217.117.170)
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53805.Re: 定積分0→2π  
名前:Joe    日付:2018年01月06日(土) 15時19分
ご回答ありがとうございます。

問題を間違えてしまい、範囲が[0→π/2]でした、

ウォリスの公式を使うのは理解したのですが、一応こちらの解き方と答えを教えていただけないでしょうか、、
お手数をおかけして申し訳ございません。
p1419244-ipngn15001marunouchi.tokyo.ocn.ne.jp (153.206.72.244)
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53792.Re: 定積分0→2π  
名前:IT    日付:2018年01月06日(土) 10時06分
オイラーの公式 e^ix=cosx+isinx から cosx=(e^(ix)+e^(-ix))/2,sinx=(e^(ix)-e^(-ix))/(2i) です。
これを使うと機械的な計算ができます。

((sinx)^4)(cosx)^2)=(((e^(ix)-e^(-ix))/(2i))^4)((e^(ix)+e^(-ix))/2)^2
展開して整理すると
=(1/64)(e^(i6x)+e^(-i6x)-2(e^(i4x)+e^(-i4x))-e^(i2x)-e^(-i2x)+4)

右のカッコ内の4 以外の部分の0→2πの定積分=0なので

∫[0→2π]((sinx)^4)(cosx)^2dx=2π/16=π/8
p186141-ipngn200203matsue.shimane.ocn.ne.jp (114.154.156.141)
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53788.Re: 定積分0→2π  
名前:らすかる    日付:2018年01月06日(土) 06時40分
普通に解くと
∫[0→2π](sinx)^4(cosx)^2dx
=∫[0→2π]{1-(cosx)^2}^2(cosx)^2dx
=∫[0→2π](cosx)^6-2(cosx)^4+(cosx)^2dx
=∫[0→2π]{(cos6x+6cos4x+15cos2x+10)/32}-2{(cos4x+4cos2x+3)/8}+{(cos2x+1)/2}dx
=(1/32)∫[0→2π]cos6x-2cos4x-cos2x+2dx
=(1/32)[sin6x/6-sin4x/2-sin2x/2+2x][0→2π]
=(1/32)[2x][0→2π]
=(1/32)(4π)
=π/8

ウォリス積分の公式を使うならば
∫[0→2π](sinx)^4(cosx)^2dx
=∫[0→2π](sinx)^4{1-(sinx)^2}dx
=∫[0→2π](sinx)^4-(sinx)^6dx
=4∫[0→π/2](sinx)^4-(sinx)^6dx
=4(3!!/4!!・π/2-5!!/6!!・π/2)
=π/8

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53783.定積分0→2π  
名前:Joe    日付:2018年01月06日(土) 01時06分
刀m0→2π]sin^4xcos^2x

の解き方と答えを教えていただきたいです。
(0→2πの公式を使うと思うんですが、、)
数学が得意ではないのでその点はご了承ください。
(大学 1 年/質問者)
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「53783.定積分0→2π」への返信

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