[ ホームページ ] [ 携帯用URL ]
DS 数学 BBS・2
小中高の範囲は DS 数学 BBS(携帯電話用)へ。
数学以外の話題は赤猫雑談掲示板で。
注意事項, 記号の書き方例をお読みになった上でご利用ください。

[ EZBBS.NET | 新規作成 | ランキング | サポート ]
名前 一覧
 E-mail 
題名
内容

投稿KEY    タグ有効 改行有効 等幅フォント
URL
添付

 
掲示板のTOP | 過去ログ集 | 投稿練習 | よく質問される問題 | エッセイblog



54069.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月16日(火) 16時19分
まず、点列について考える。
順位を示す各自然数nに対応して点P_n=(x_n,y_n)が定められるとき
点列{P_n}が発生する。
点列{P_n}の極限とは、次の条件に適する定点A=(a,b)をいう。
すなわち、どれほど小さい正数εをとっても、それに対応して
番号n_0を十分大きくとれば
n>n_0 のとき AP_n<ε
となることを示すのである。そのとき点列{P_n}はAに収束するという。
距離AP_nとは(((a-x_n)^2+(b-y_n)^2)^1/2)である。
それがεよりも小さいならば、もちろん|a-x_n|<ε、|b-y_n|<εであるが
逆にこれからAP_n<2εをえる。ゆえにP_n→Aは
lim(n→∞)x_n=a
lim(n→∞)y_n=b
である。

a_n={cos^2(n!)}={1/2+(cos(2n!))/2}
(ただしπ/n!は無理数)とおく。
(n!)/πが無理数であれば、単位円周上の定点Aを起点として同じ向きに長さが2n!なる弧AP_nをとれば、点P_nは円周上に稠密に分布される。
したがって
limsup a_n=1
liminf a_n=0
である。

参考文献として「解析概論、高木貞治著、岩波書店、p14」を用いた。
(馬鹿猫/質問者)
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.132 Safari/537.36

54065.Re: πの無理性について  
名前:さる    日付:2018年01月16日(火) 12時40分
>inf(0,1)=0
>sup(0,1)=1
これは正しいですね。

>liminf a_n = sup{inf(0,1)}
このあたり、何が起きているのか私には理解できません。
特にコメントしてませんでしたが、
>54053の
>liminf a_n = sup{inf[1/3,2/3]}
なども同様です。

実数の部分集合A,Bに対して、∅≠A⊂Bが成り立っているとする。
このとき、inf B <= inf A <= sup A <= sup Bが成り立つ。
というのはわかりますか?
そして、liminfやlimsupの定義と合わせて考えてみて下さい。

>a_n(n∈N)の一般項のとりうる値の範囲が(0,1)
一般項って何でしょう?
それはさておき、以下、a_n<1が全てのnに対して成立するとして述べます。
このときわかることは、limsup a_n <=1 までです。

「limsup a_n=1ではない」と書くと「limsup a_n<1」であると結論しているように見え、それも正しくありません。
「limsup a_n=1であると結論するのは論理の飛躍である」というのが正しいでしょう。


数列によっては、
limsup a_n=1 の場合もありえるし、limsup a_n =1/2の場合もありえるし、何にせよ、limsup a_n<=1は成り立つ、そういうことです。


最後に、終域というのは、一番初めに述べる前提条件のようなものなので、話の途中で変化するあたりが標準的な使い方ではないと述べた根拠です。
ag004074.dynamic.ppp.asahi-net.or.jp (157.107.4.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64; rv:57.0) Gecko/20100101 Firefox/57.0

54060.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月16日(火) 10時46分
変な言い方をして申し訳ありません。

数列 {a_n} は n を独立変数とする関数だと考えてました。
それで勘違いして終域という言葉を使ってしまいました。

質問ですが、a_n(n∈N)の一般項のとりうる値の範囲が
(0,1)
のとき
inf(0,1)=0
sup(0,1)=1
liminf a_n = sup{inf(0,1)}=0
limsup a_n = inf{sup(0,1)}=1
ではないということで間違えないですか。
(馬鹿猫/質問者)
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.132 Safari/537.36

54057.Re: πの無理性について  
名前:さる    日付:2018年01月16日(火) 08時54分
>limsup a_n に 1 が含まれることがわかったとき、
???何を言っているのかわかりません。
limsup a_nは実数(もしくは±∞)です。


0<a_n<1を満たす数列に対して
0<=liminf a_n <= limsup a_n <=1
が成り立つことは、liminf, limsupの定義から示せますし、基本的な性質でもあります。

当たり前ですが、
-1<=liminf a_n <=limsup a_n <=2
とか
-1<liminf a_n <=limsup a_n <2
とかも成り立ちます。

あともう一つ、「終域」の使い方がおかしい(標準的な使い方でない)と思われます。
ag004074.dynamic.ppp.asahi-net.or.jp (157.107.4.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64; rv:57.0) Gecko/20100101 Firefox/57.0

54053.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月16日(火) 05時23分
>54051
反例としての意味は、もちろん理解できました。

ところで、なぜ limsup a_n ≦ 1 が分かったのでしょうか。
limsup a_n に 1 が含まれることがわかったとき、
y = cos^2 x の y が 0≦y≦1 であることより
limsup a_n = 1 となることが確定します。

当然ですが、終域は
[1/3,2/3]
なので
inf[1/3,2/3]=1/3
sup[1/3,2/3]=2/3
ですから
liminf a_n = sup{inf[1/3,2/3]}=1/3
limsup a_n = inf{sup[1/3,2/3]}=2/3
となるので
0 < liminf a_n ≦ limsup a_n < 1 は満たされています。
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.132 Safari/537.36

54051.Re: πの無理性について  
名前:さる    日付:2018年01月16日(火) 02時27分
次のように定まる数列 a_n: 1/3,2/3,1/3,2/3,1/3,2/3,...
は0<a_n<1を満たします。
limsup a_n=1, liminf a_n=0となっていますか?

また、0<=liminf a_n <= limsup a_n <=1 は満たされていませんか?
ag004074.dynamic.ppp.asahi-net.or.jp (157.107.4.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64; rv:57.0) Gecko/20100101 Firefox/57.0

54040.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月16日(火) 01時23分
思いつきばかりですいません。

系統的な学習が必要な旨、了解しました。
さっそく、大学数学ベーシックトレーニング(和久井道久著)をAmazonにて注文しました。
時間の許す限り努力していきたいと思います。

PS
>54018
は編集しようとして間違えて消してしまいました。
すいません。
(馬鹿猫/質問者)
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.132 Safari/537.36

54038.Re: πの無理性について  
名前:さる    日付:2018年01月15日(月) 21時54分
>54018
下から7,8行目の根拠がありません。

数列a_nが0<a_n<1を満たすときに、
limsup a_n <=1
はわかりますが、limsup a_n=1を示すためには、根拠が必要です。



本題からはそれますが、単に思いつきを書いてチェックしてもらうのを繰り返すのではなく、数学の証明というものについて、もう少し系統的に勉強した方が良いのではないかと個人的に感じます。

題材として、例えば、
大学数学ベーシックトレーニング(和久井道久著)
に取り組んでみるとかはどうでしょうか。
ag004074.dynamic.ppp.asahi-net.or.jp (157.107.4.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64; rv:57.0) Gecko/20100101 Firefox/57.0

53974.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月15日(月) 13時26分
>何が目的なのかよくわからないのですが、πが無理数であることは認めた上で、cos^2(n!)で定まる数列が、n→∞で収束しないことを示したいのですか?

その通りです。
πの無理性の証明はランベルトの定理とか、ニーベン・インケリの定理を使うことにします。

>もう一つ、πが無理数であることを用いても、cos^2(n!)がn→∞で収束しないことを示すのは、簡単ではないと思います。個人的な印象でしかありませんが。

そうらしいです。知り合いのつてをたどって某大学の数学科の教授に聞きましたが、私が解けるほど簡単ではないそうです。
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.132 Safari/537.36

53972.Re: πの無理性について  
名前:さる    日付:2018年01月12日(金) 23時19分
>53962
何が目的なのかよくわからないのですが、πが無理数であることは認めた上で、cos^2(n!)で定まる数列が、n→∞で収束しないことを示したいのですか?

πが無理数であることを用いるなら、全ての自然数nに対して(n+1)!-n! が2πの整数倍とならないことは確かですが、πが無理数であることを用いないならば、(n+1)!-n!が十分大きなnで2πの整数倍にならないことは、証明するべき事柄です。

もう一つ、πが無理数であることを用いても、cos^2(n!)がn→∞で収束しないことを示すのは、簡単ではないと思います。個人的な印象でしかありませんが。
ag004074.dynamic.ppp.asahi-net.or.jp (157.107.4.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64; rv:57.0) Gecko/20100101 Firefox/57.0

53966.Re: πの無理性について  
名前:mochi    日付:2018年01月12日(金) 21時37分
気になったところ2つ

・自然数xに対して「cos^2(x!)≠cos^2((x+1)!)」の示し方
cos^2(a)-cos^2(b)=(cos(a)-cos(b))(cos(a)+cos(b))
    =-4cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)である.
a=x!, b=(x+1)!を代入して
(x!+(x+1)!)/2, (x!-(x+1)!)/2 は(πの無理性より)ともにπ/2の整数倍でないから
cos^2(x!)-cos^2((x+1)!)≠0
とすればマクローリン展開する必要はありません.pdfの証明もしていることはおそらく同じ.(問題はありません)

・{cos^2(x!)}のx→∞の極限が存在しないことの証明は正しくありません.
ε=(略)と置いているが,εはK,xに依存してはいけません.
数列が収束することの定義とその否定を確認してみください.
softbank218115146079.bbtec.net (218.115.146.79)
Mozilla/5.0 (X11; Linux x86_64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Ubuntu Chromium/63.0.3239.84 Chrome/63.0.3239.84 Safari/537.36

53962.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月12日(金) 20時18分
Size: 333KB

無駄な努力でしかありませんが、PDFをご確認していただけませんか?
お願いします。
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.132 Safari/537.36


53910.Re: πの無理性について  
名前:ぽけっと    日付:2018年01月11日(木) 00時35分
limのときもそうでしたが,単に式の見た目が違うからといって値が異なると安直に結論づけてはいけません

不等号を示すのは一般に容易ではありません.
繰り返しになりますが,単に見た目が違う式を導いて終わり,というわけにはいきません.
きちんと等号が成り立つとすれば矛盾が生じることを論理的に立証することが必要です.
219-122-135-142f1.osk2.eonet.ne.jp (219.122.135.142)
Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10.11; rv:50.0) Gecko/20100101 Firefox/50.0

53909.Re: πの無理性について  
名前:ぽけっと    日付:2018年01月11日(木) 00時32分
先ほどと何も変わっていません

>> であるからcos^2(x!)≠cos^2((x+1)!)である
の部分で論理が飛躍しています.

和Σの中身の見た目が違うからといって,和を取った結果も異なるとは限りませんよ.
219-122-135-142f1.osk2.eonet.ne.jp (219.122.135.142)
Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10.11; rv:50.0) Gecko/20100101 Firefox/50.0

53908.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月11日(木) 00時13分
Size: 427KB

無駄なあがきでしかありませんが、PDFをご確認していただけませんか?
お願いします。
(馬鹿猫/質問者)
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.132 Safari/537.36


53907.Re: πの無理性について  
名前:ぽけっと    日付:2018年01月10日(水) 23時26分
>> x+1はxのπ倍でないから
という文と
>> 「x!≡(x+1)! (mod π)でない」
の間に繋がりがありません.

それに仮に「x!≡(x+1)! (mod π)でない」が正しいとしても
>> cos^2(x!)≠cos^2((x+1)!)
とは言えません

たとえば1と-1の差2はもちろんπの整数倍ではありませんが
cos^2(1) = cos^2(-1)
が成り立つことに注意してください
219-122-135-142f1.osk2.eonet.ne.jp (219.122.135.142)
Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10.11; rv:50.0) Gecko/20100101 Firefox/50.0

53906.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月10日(水) 21時52分
Size: 401KB

悪あがきでしかありませんが、PDFをご確認していただけませんか?
お願いします。
(馬鹿猫/質問者)
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.132 Safari/537.36


53905.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月10日(水) 10時59分
>> lim(x→∞)(1/2)
>> の1/2は定数であり、x に依存しないから
>> lim(x→∞)(1/2)=1/2
>> である。

任意の定数Cとおいたときlim(x→∞)C が成り立つ。
なぜならば、すべてのε> 0に対して、常に
|C-C|<ε
であるからである。

>> lim(x→∞)(1/2 * cos(2x))
>> の1/2の乗算は定数であり、x に依存しないから
>> lim(x→∞)(1/2 * cos(2x))=1/2*lim(x→∞)cos(2x)
>> である。

lim(x→∞)cos(x)はoscillateですので、lim(x→∞)cos^2(x)もoscillateだからOKかなと思ったのですが、もしそれを言うなら、まずoscillateだと証明しなければなりませんね。
よって、当たり前ですが等号で結んではいけませんね。
手間がかかるので、lim(x→∞)(cos(2x))/2 と考えます。
lim(x→∞)cos(2x)に極限が存在しないとき
lim(x→∞)(cos(2x))/2も極限が存在しないことは自明です。

>そもそも「任意の実数xに対してlim(x→∞)cos^2(x)に極限が存在しない」
>という言い方がおかしいです.xは束縛変数であることによく注意して
>ください.束縛変数に対して「任意の実数xに対して」のような条件を
>つけることはできません.

その通りですね。

>そもそも実数xに対してx!を定義しないとlim(x→∞)cos^2(x!)という
>記号を使うことすらできません.もちろんΓ関数を用いて容易に
>定義できますが.むしろlim(x→∞)cos^2(Γ(x+1))と書くべきですね

確かにその通りです。ガンマ関数で示すべきですね。

>しかし今示したいのは数列{cos^2(n!)}が発散することですよね.
>これはlim(x→∞)cos^2(x)の発散とは別の問題です.
>そしてπが無理数(引いては超越数)を仮定しても証明は
>かなり難しいのではないかと思います

やはりそうですか。
自分の努力できる範囲でなんとかなる問題ではなさそうですか。
分かりました。
これだけの議論ができて、嬉しかったですし、無知の知を再認識できました。
私の記述が論理的に破綻している中で助け舟を出してくださったすべての皆様に感謝いたします。
ありがとうございます。
(馬鹿猫/質問者)
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.132 Safari/537.36

53900.Re: πの無理性について  
名前:ぽけっと    日付:2018年01月10日(水) 09時56分
>> 任意の実数 x について成立するということは、どんな実数 x を選んできても成立するということですか。

はい,そうです.

>> ところで、任意の実数 x に対して
>> lim(x→∞)cos^2(x)
>> に極限が存在しないとき、xは任意の実数だから
>> lim(x→∞)cos^2(x!)
>> とおいて、極限が存在しないとしても良いのでしょうか。

そもそも「任意の実数xに対してlim(x→∞)cos^2(x)に極限が存在しない」という言い方がおかしいです.xは束縛変数であることによく注意してください.束縛変数に対して「任意の実数xに対して」のような条件をつけることはできません.

もちろんlim(x→∞)cos^2(x)が発散することが示せたからといって,lim(x→∞)cos^2(x!)が発散するとは言えません.

そもそも実数xに対してx!を定義しないとlim(x→∞)cos^2(x!)という記号を使うことすらできません.もちろんΓ関数を用いて容易に定義できますが.むしろlim(x→∞)cos^2(Γ(x+1))と書くべきですね
しかし今示したいのは数列{cos^2(n!)}が発散することですよね.これはlim(x→∞)cos^2(x)の発散とは別の問題です.
そしてπが無理数(引いては超越数)を仮定しても証明はかなり難しいのではないかと思います
om126212084072.11.openmobile.ne.jp (126.212.84.72)
Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10.11; rv:50.0) Gecko/20100101 Firefox/50.0

53899.Re: πの無理性について  
名前:ぽけっと    日付:2018年01月10日(水) 09時50分
>> lim(x→∞)(1/2)
>> の1/2は定数であり、x に依存しないから
>> lim(x→∞)(1/2)=1/2
>> である。

これはなぜですか?

>> lim(x→∞)(1/2 * cos(2x))
>> の1/2の乗算は定数であり、x に依存しないから
>> lim(x→∞)(1/2 * cos(2x))=1/2*lim(x→∞)cos(2x)
>> である。

また,これはなぜですか?


前者は分かっている人からしたら当たり前ですがちゃんと定義から説明できるかの確認です
後者はそもそも成り立つのか,という話です.等号の定義にもよりますが.
om126212084072.11.openmobile.ne.jp (126.212.84.72)
Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10.11; rv:50.0) Gecko/20100101 Firefox/50.0

53898.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月10日(水) 07時41分
任意の実数 x について成立するということは、どんな実数 x を選んできても成立するということですか。

ところで、任意の実数 x に対して
lim(x→∞)cos^2(x)
に極限が存在しないとき、xは任意の実数だから
lim(x→∞)cos^2(x!)
とおいて、極限が存在しないとしても良いのでしょうか。

※連続体濃度をもつ集合に属する任意の実数 x を可算濃度をもつ集合に属する階乗 x! とおいて良いものなのか気になっています。
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.132 Safari/537.36

53894.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月10日(水) 07時28分
実数 L に対して lim(x→∞)cos(2x)= L とする。
これは、すべての ε> 0に対して、任意の x > K が
|cos(2x)- L| <εを満足する K∈R があるという意味である。

ここで、ε=1/2 とおく。
任意の K>0 に対して、cos(2 x1)= 1となる x1 > K と、cos(2 x2)= -1となる x2 > K がある。
|1-L| < 1/2 と |-1-L| < 1/2 を同時にとるような L は存在しないので、極限は存在しない。

ここで、加法定理を用いてcos^2(x)=1/2 + 1/2 * cos(2x)を示す。
なお、加法定理はオイラーの公式によって証明されているものとする。
また、オイラーの公式は冪級数展開によって証明されているものとする。
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
のα=x、β=xとおいて
cos(x+x)=cos(2x)=cos(x)cos(x)-sin(x)sin(x)=cos^(2x)-sin^(2x)
sin^(2x)+cos^(2x)=1 より
sin^(2x)=1-cos^(2x)
これを代入して
cos(2x)=cos^(2x)-(1-cos^(2x))=cos^(2x)-1+cos^(2x)=2cos^(2x)-1
したがって
cos(2x)=2cos^(x)-1 が成立し
2cos^2(x)-1=cos(2x)
2cos^2(x)=1+cos(2x)
ゆえに
cos^2(x)=1/2 + 1/2 * cos(2x)
である。

したがって
lim(x→∞)cos^2(x)
= lim(x→∞)(1/2 + 1/2 * cos(2x))
である。

lim(x→∞)(1/2)
の1/2は定数であり、x に依存しないから
lim(x→∞)(1/2)=1/2
である。
lim(x→∞)(1/2 * cos(2x))
の1/2の乗算は定数であり、x に依存しないから
lim(x→∞)(1/2 * cos(2x))=1/2*lim(x→∞)cos(2x)
である。

したがって
lim(x→∞)cos^2(x)
= lim(x→∞)(1/2 + 1/2 * cos(2x))
= 1/2 + 1/2 * lim(x→∞)cos(2x)
であるから、極限は存在しない。
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.132 Safari/537.36

53893.Re: πの無理性について  
名前:ぽけっと    日付:2018年01月10日(水) 02時09分
>> どんな K を選んでも問題はない。
という書き方はおかしいです.「任意のK>0に対して」という書き方に変えればOK

>> lim(x→∞)cos^2(x)= 1/2 + lim(x→∞)(cos(2x))/2
これは正しいのですが,lim(x→∞)cos^2(x)の極限が存在しないことを定義から示したいなら(今がまさにそのような状況だと思いますが)この等式も突然出してはいけないです.つまり証明が必要
219-122-135-142f1.osk2.eonet.ne.jp (219.122.135.142)
Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10.11; rv:50.0) Gecko/20100101 Firefox/50.0

53892.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月10日(水) 02時07分
lim(x→∞)cos^2(x)の極限が存在しないことはこの証明で良いでしょうか。

実数 L に対して lim(x→∞)cos(2x)= L とする。
この意味は、すべての ε> 0に対して、任意の x > K が
|cos(2x)- L| <εを満足する K∈R がある。

ここで、ε=1/2 とおく。
どんな K を選んでも問題はない。
cos(2 x1)= 1となる x1 > K と、cos(2 x2)= -1となる x2 > K がある。
|1-L| < 1/2 と |-1-L| < 1/2 を同時にとるような L は存在しないので、極限は存在しない。

したがって
lim(x→∞)cos^2(x)
= 1/2 + 1/2 * lim(x→∞)cos(2x)
の極限も存在しない。
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.132 Safari/537.36

53891.Re: πの無理性について  
名前:ぽけっと    日付:2018年01月10日(水) 01時47分
実数の極限値lim(x→∞)cos(x)が存在しないことの証明はそれでいいですが,そこから
>> lim(x→∞)cos^2(x)の極限も存在しない
とするのは論理が飛躍しています
219-122-135-142f1.osk2.eonet.ne.jp (219.122.135.142)
Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10.11; rv:50.0) Gecko/20100101 Firefox/50.0

53890.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月10日(水) 01時58分
lim(x→∞)cos^2(x)の極限が存在しないことはこの証明で良いでしょうか。

実数 L に対して lim(x→∞)cos(x)= L とする。
この意味は、すべての ε> 0に対して、任意の x > K が
|cos(x)- L| <εを満足する K∈R がある。

ここで、ε=1/2 とおく。
どんな K を選んでも問題はない。
cos(x1)= 1となる x1 > K と、cos(x2)= -1となる x2 > K がある。
|1-L| < 1/2 と |-1-L| < 1/2 を同時にとるような L は存在しないので、極限は存在しない。

したがって
lim(x→∞)cos^2(x)
の極限も存在しない。
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.132 Safari/537.36

53889.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月10日(水) 00時26分
すいません。
そして、返答をありがとうございます。

数列 {cos^2(n!)} は n→∞ で発散するを証明したいのですが、どうしたらいいでしょうか。
なお、リンデマンの定理よりπは超越数であるとします。
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.132 Safari/537.36

53888.Re: πの無理性について  
名前:ぽけっと    日付:2018年01月10日(水) 00時13分
「数列{cos^2(1/(x_n))}は x_n→+0(n→∞)で発散する」という文章が数学的に意味を持たないので証明も何もありません

ちなみに "n→∞でx_n→0となる任意の数列{x_n}に対して,数列{cos^2(1/x_n)}がn→∞で発散する" なら命題にはなっていますが,偽です.つまり証明はなく反例があります.
219-122-135-142f1.osk2.eonet.ne.jp (219.122.135.142)
Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10.11; rv:50.0) Gecko/20100101 Firefox/50.0

53887.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月09日(火) 23時56分
数列{cos^2(1/(x_n))}は x_n→+0(n→∞)で発散することを証明するには、どうしたら良いでしょうか。
なお、リンデマンの定理よりπは超越数であるとします。
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.132 Safari/537.36

53885.Re: πの無理性について  
名前:ぽけっと    日付:2018年01月09日(火) 17時57分
>> 「a_n→a(n→∞)とは(∀ε>0)(∃n_0∈N)(∀n∈N)(n≧n_0⇒|a-a_n|<ε)が成立することである。」と言うのは真実でしょうか。

実数(または複素数)列に関してはそれが[a_n→a (n→∞)の]定義です


>> また「数列が収束しないことを発散するという。」と言うのは真実でしょうか。

これも発散という言葉の定義です.通常の定義だと思います.


>> さらに「数列 {a_n}(n∈N) の極限は存在するとすれば唯一つである。」と言うのは真実でしょうか。

これは空間によっては成り立たないこともありますが,少なくとも実数もしくは複素数列に限れば正しい定理です.証明もε-N論法を理解していれば容易です.


>> それと「任意の{x_n}に対して{cos^2(1/x_n)}は発散する。」と「数列{cos^2(1/(x_n))}は n→∞ で発散する。」は意味が同じですか。

いいえ 違います
前者は命題としては成り立っていて,真偽を言うなら偽です.
後者はx_nの定義が不明なので命題としてすらなりたっていない数学的には意味のない文です.(勿論x_nが何であるかを指定すれば意味がある文になります)


>> 部分列と数列は、すべての場合で全く同値なのですか。
この質問の文章自体の意味が通じません


>> π の定義は「cos x が 0 を取るような x > 0 の最小値の2倍」と言うのは真実でしょうか。

定義は同値ならどれでも好きなものを使えばいいです.
それを定義にしてもかまいません.
om126212084072.11.openmobile.ne.jp (126.212.84.72)
Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10.11; rv:50.0) Gecko/20100101 Firefox/50.0

53883.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月09日(火) 17時51分
ところで
「a_n→a(n→∞)とは(∀ε>0)(∃n_0∈N)(∀n∈N)(n≧n_0⇒|a-a_n|<ε)が成立することである。」と言うのは真実でしょうか。

また「数列が収束しないことを発散するという。」と言うのは真実でしょうか。

さらに「数列 {a_n}(n∈N) の極限は存在するとすれば唯一つである。」と言うのは真実でしょうか。

π の定義は「cos x が 0 を取るような x > 0 の最小値の2倍」と言うのは真実でしょうか。
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.132 Safari/537.36

53874.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月08日(月) 21時40分
分かりました。
いろいろとありがとうございました。
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.132 Safari/537.36

53873.Re: πの無理性について  
名前:ぽけっと    日付:2018年01月08日(月) 21時23分
>> という x_n→+0 をみたす数列をそれぞれとって 数列{cos^2(1/(x_n))} n→∞ を計算すると、@では 1、Aでは 0 に収束し、収束先が一致しないため仮定に矛盾する。

ここまでの記述で言えていることは
「任意の数列{x_n}に対して数列{cos^2(1/x_n)}が同じ数αに収束することはない」
ということであって,これは
>> したがって、数列{cos^2(1/(x_n))}は n→∞ で発散する。
とは別の話です.
実際収束列がある以上「任意の{x_n}に対して{cos^2(1/x_n)}は発散する」というのは成り立ちませんし,「ある{x_n}に対して{cos^2(1/x_n)}は発散する」だとしたらこれはこれで自明かつ上の議論とは全く関係のない事実です.

そして具体的に選んだ
x_n:=1/n! (n=1,2,…)
という数列にたいして数列{cos^2(1/x_n)}がどうなるかに関しては何も議論されていないので,当然この段階では収束するか発散するかは分かりません.

というかπが無理数であることを使用しないとこの{cos^(1/x_n)}が発散することは示せないので本質的にトートロジーで,この方法ではπが無理数であることを証明できません.
om126237122104.9.openmobile.ne.jp (126.237.122.104)
Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10.11; rv:50.0) Gecko/20100101 Firefox/50.0

53871.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月08日(月) 21時16分
多分間違えてますが、ご確認をお願いします。

x_n→+0(n→∞)となる任意の数列 {x_n} に対して、数列{cos^2(1/(x_n))}が n→∞ で α に収束すると仮定する。

@ x_n:=2/(2nπ) (n=1,2,…)
A x_n:=2/((2n+1)π) (n=1,2,…)

という x_n→+0 をみたす数列をそれぞれとって 数列{cos^2(1/(x_n))} n→∞ を計算すると、@では 1、Aでは 0 に収束し、収束先が一致しないため仮定に矛盾する。
したがって、数列{cos^2(1/(x_n))}は n→∞ で発散する。
ここで、x_n→+0 をみたす数列を
x_n:=1/n! (n=0,1,2,…)
とおく。
そうしたならば、数列 {cos^2(1/(x_n))} は {cos^2(n!)} と示せる。
ゆえに、数列 {cos^2(n!)} は n→∞ で発散する。
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.132 Safari/537.36

53862.Re: πの無理性について  
名前:ぽけっと    日付:2018年01月08日(月) 13時09分
用語に関してですが,単にlim(x→∞)とかけばxは実数の範囲で∞に飛ばすという意味です.

「自然数の範囲で∞に飛ばす」と明示的に書けばそういう意味で使っているのだと誤解なく伝わりますが,

lim(n→∞) a_n = ∞ (ただしlim(n→∞)は自然数の範囲での極限)

と書くより

数列{a_n}は (n→∞で) 発散する

などと書いたほうが読む方も(書く方も)混乱が少ないかなと思います

繰り返しになりますがたとえば
「数列{cos^2(n!)}はn→∞で発散する」
などと書けばいいです.
219-122-135-142f1.osk2.eonet.ne.jp (219.122.135.142)
Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10.11; rv:50.0) Gecko/20100101 Firefox/50.0

53861.Re: πの無理性について  
名前:ぽけっと    日付:2018年01月08日(月) 13時03分
>> lim[x→+0] cos^2(1/x) は発散する

これは当然OKです

>> また、lim[x→∞](x)=+∞ および lim[x→+0](1/x)=+∞ である。

これももちろんOKです

>> したがって lim[x→∞] cos^2(x) も発散する。

ここで論理が飛躍しています.

それとは別に最後のlim[x→∞]は "xは自然数の範囲での極限" という意味で使っていますか?
だとしたらちゃんとそう書かないと実数の範囲での極限という意味になります.
ちなみにどちらにせよ論理が飛躍していることに変わりはありません.
219-122-135-142f1.osk2.eonet.ne.jp (219.122.135.142)
Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10.11; rv:50.0) Gecko/20100101 Firefox/50.0

53859.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月08日(月) 12時48分
多分間違えてそうですが、ご確認をお願いします。

lim[x→+0] cos^2(1/x) が極限 α に収束するならば、x_n→0(n→∞)となる任意の数列 (x_n) に対して lim[x_n→+0]cos^2(1/(x_n)) = lim[n→∞]cos^2(1/(x_n)) も α に収束する。


lim[x→+0] cos^2(1/x) が極限値 α に収束すると仮定する。

@ x_n:=2/(2nπ) (n=1,2,…)
A x_n:=2/((2n+1)π) (n=1,2,…)

という x_n→0 をみたす数列をそれぞれとって lim[n→∞]cos^2(1/(x_n)) を計算すると、@では 1、Aでは 0 に収束し、収束先が一致しないため仮定に矛盾する。よって lim[x→+0] cos^2(1/x) は発散する。

また、lim[x→∞](x)=+∞ および lim[x→+0](1/x)=+∞ である。

したがって lim[x→∞] cos^2(x) も発散する。

ゆえに lim[x→∞]cos^2(x!) も発散する。
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.132 Safari/537.36

53856.Re: πの無理性について  
名前:ぽけっと    日付:2018年01月08日(月) 10時54分
そうではなく,レス53849で指摘したのは

>> lim(n→∞)cos^2(n!)
>> は無限大の極限で 0 から 1 のどの値をとるのか決定できません。

がまさに証明するべきことだ,と言ったのです.

これを証明することとπが無理数であることを証明することは等価です.
なので一切の証明なしに突然

>> lim(n→∞)cos^2(n!)
>> は無限大の極限で 0 から 1 のどの値をとるのか決定できません。

と書くのはダメです.「πは無理数である.よってπは無理数である」と書いているのと何も変わりません.


ps.
ちなみに本質からはそれますが,cos^2(n!) (n∈N)が[0,1]の値すべてを取るというのは嘘です.
[0,1]は非可算無限濃度で,cos^2(n!) (n=1,2,...)は可算濃度なので.
219-122-135-142f1.osk2.eonet.ne.jp (219.122.135.142)
Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10.11; rv:50.0) Gecko/20100101 Firefox/50.0

53851.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月08日(月) 05時43分
Size: 281KB

ご指摘のとおりです。

添付PDFの cos x の増減表より cos x は、-1 ≦ cos x ≦ 1 です。
したがって、cos^2(x) は、0 ≦ cos^2(x) ≦ 1 です。

lim(n→∞)cos^2(n!)
は無限大の極限で 0 から 1 のどの値をとるのか決定できません。
よって極限がないといえます。
おっしゃる通り、極限がないのも収束しないので、発散に分類されます。

したがって、n の値が限りなく大きくなるとき、cos^2(n!) の値は 0 と 1 の間のすべての値を繰り返してとり、一定の値には近づかない。
すなわち、lim(n→∞)cos^2(n!)は、発散する。

なお、参考文献として「杉浦光夫著:解析入門T、pp.179-182」を用いました。
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.132 Safari/537.36


53849.Re: πの無理性について  
名前:ぽけっと    日付:2018年01月08日(月) 02時37分
>> lim(n→∞)cos^2(n!)
>> は[0,1]で振動する

??
「lim(n→∞)cos^2(n!)は発散する」の間違い?
だとしたらまさにそれを証明しようとしているのでは?



証明しようとしていることを突然登場させている.
「π∈Qと仮定すると・・・。しかしながらπは無理数である。これは矛盾である。」
と書いているのと何が違うのでしょう
219-122-135-142f1.osk2.eonet.ne.jp (219.122.135.142)
Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10.11; rv:50.0) Gecko/20100101 Firefox/50.0

53847.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月08日(月) 02時28分
Size: 196KB

>53810
のmochiさんの概念を引用させていただいた方法をPDFにしました。
すいませんが、ご確認ください。
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.132 Safari/537.36


53838.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月07日(日) 16時17分
私の勉強不足です。
すいません。
解析入門Tを読んだら、分かりました。

lim[n→∞]a_n=α、lim[n→∞]b_n=βが存在するときに
lim[n→∞](a_n * b_n)=(lim[n→∞]a_n)*(lim[n→∞]b_n)
が成立しますね。
ですから、極限が発散したときは適応できませんね。
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.132 Safari/537.36

53837.Re: πの無理性について  
名前:ぽけっと    日付:2018年01月07日(日) 13時39分
>> 数列の性質の
>> lim[n→∞](a_n * b_n)=(lim[n→∞]a_n)*(lim[n→∞]b_n)

そんな性質ありません

あるというのなら証明してみてください

ps.
極限について理解できていないと何度も指摘される原因はこういうところに現れています
極限に関する等式は一体どういう仮定の下で成り立つのかを理解していないと正しい結論を導くことはできません
219-122-135-142f1.osk2.eonet.ne.jp (219.122.135.142)
Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10.11; rv:50.0) Gecko/20100101 Firefox/50.0

53835.Re: πの無理性について  
名前:さる    日付:2018年01月07日(日) 10時50分
>53829
そのような都合の良い関数が存在するのはなぜですか?

自分で新しい関数を導入するなら、どんな関数なのか(定義域は?終域は?)、関数としてきちんと定義されているのか?(一つの元に対して一つの値が対応しているか?)などをチェックしないといけません。

やはり、きちんと極限について学びなおすべきかと。
n!とn!/bは、極限をとったら、どうあがいても区別がつきません。
ag004074.dynamic.ppp.asahi-net.or.jp (157.107.4.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64; rv:57.0) Gecko/20100101 Firefox/57.0

53829.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月07日(日) 02時40分
Size: 339KB

PDFを添付しましたので、ご確認ください。
(馬鹿猫/質問者)
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.132 Safari/537.36


53820.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月06日(土) 20時22分
lim_{n→∞} (n!)=lim_{n→∞} (n!/b)=∞
ですから成り立ちますね。
わかりました。
この方法でも無理なようです。
113x33x116x82.ap113.ftth.ucom.ne.jp (113.33.116.82)
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.132 Safari/537.36

53819.Re: πの無理性について  
名前:さる    日付:2018年01月06日(土) 20時09分
極限という概念について、理解・勉強が足りていないように見受けられます。円周率は極限と密接にかかわっているので、極限をきちんと扱えなければ、円周率に関する論証は不可能です。

>53815
などで、大きく勘違いしているように見えますが、
*****
任意の正の実数 bに対して、
lim_{n→∞} (n!)=lim_{n→∞} (n!/b)
*****
は成立します。
ag004074.dynamic.ppp.asahi-net.or.jp (157.107.4.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64; rv:57.0) Gecko/20100101 Firefox/57.0

53818.Re: πの無理性について  
名前:ぽけっと    日付:2018年01月06日(土) 20時07分
さっきのレスは間違ったことは言ってませんが本質はそこではありませんでした

本質的な部分は
>> ゆえに
>> lim n! ≠ lim n!/b
の部分です.これが嘘ですね

そもそもlim n! = +∞を"ゆえに"の前で「値」と呼んでいるところから,まだレス53809で指摘した誤解が解けていないようです(mochiさんも同じ指摘をしています)
om126237122104.9.openmobile.ne.jp (126.237.122.104)
Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10.11; rv:50.0) Gecko/20100101 Firefox/50.0

53816.Re: πの無理性について  
名前:ぽけっと    日付:2018年01月06日(土) 19時53分
>> したがって
>> lim cos^2(n!) = 1
>> でなければならない
の部分で論理が飛躍しています

またその前の部分の「lim lim 1^k = 1」という文章はあまりに自明で情報量ゼロです
lim lim 1^k = 1 を主張するために前書き「lim lim cos^{2k}(n!)=1ならば」などは不要ですし,あとがきの「なぜならば・・・」も不要です
om126237122104.9.openmobile.ne.jp (126.237.122.104)
Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10.11; rv:50.0) Gecko/20100101 Firefox/50.0

53815.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月06日(土) 19時49分
Size: 322KB

アップするファイルを間違えました。
すみません。
PDFを添付しましたので、ご確認ください。
113x33x116x82.ap113.ftth.ucom.ne.jp (113.33.116.82)
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.84 Safari/537.36


53814.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月06日(土) 19時34分
Size: 322KB

全くご指摘のとおりです。
ご指摘をありがとうございます。
PDFを添付しましたので、ご確認ください。
(馬鹿猫/質問者)
113x33x116x82.ap113.ftth.ucom.ne.jp (113.33.116.82)
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.84 Safari/537.36


53810.Re: πの無理性について  
名前:mochi    日付:2018年01月06日(土) 16時50分
Size: 13KB

おかしいなと思ったところを書いてみました.間違いがあるかもしれません.
pdfを少し直しました


極限は等号の定義によって収束しなくても扱えるのかもしれません,その場合は読み飛ばしてください.
softbank218115146079.bbtec.net (218.115.146.79)
Mozilla/5.0 (X11; Linux x86_64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Ubuntu Chromium/63.0.3239.84 Chrome/63.0.3239.84 Safari/537.36


53809.Re: πの無理性について  
名前:ぽけっと    日付:2018年01月06日(土) 16時34分
用語の使い方という点ではだいぶ読みやすくなったと思います

論理という点では
>> lim(n→∞) lim(k→∞) cos^{2k}(n!) = 1
>> ということは
>> lim(n→∞) cos^2(n!) = 1
の部分に飛躍があります
(今回のように無理数か有理数かを証明するときは特に極限の扱いに注意しないといけません.もちろんlim同士の交換やlimとcosの交換は一般には成り立たないことです)

それとは別に
lim(n→∞)n! = ...
という表記に関してですが,左辺は+∞以外の何物でもありません
(a/b)×1×2・・・
も+∞なので,等号の定義にもよります(+∞は普通の数ではないので注意・定義が必要)が
lim(n→∞)n! ≠ (a/b)×1×2×・・・
とは言えません
om126237122104.9.openmobile.ne.jp (126.237.122.104)
Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10.11; rv:50.0) Gecko/20100101 Firefox/50.0

53803.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月06日(土) 15時17分
Size: 298KB

全くご指摘のとおりです。
ご指摘をありがとうございます。
PDFを添付しましたので、ご確認ください。


2018/1/6 15:17
PDFの内容の変更があります。
(馬鹿猫/質問者)
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.132 Safari/537.36


53784.Re: πの無理性について  
名前:ぽけっと    日付:2018年01月06日(土) 01時38分
証明も本質的に間違っているのですが,それ以前に用語をあまりに曖昧に使いすぎていてそもそも数学の文章になっていません

## 53771に関して
>> 定義より、k、nは自然数とする。
「定義より、」という言葉は意味不明かつ不要
>> cos^2(n!)≠1のとき
>> cos^2(n!)は[0,1)であるから
(ここに限りませんが)あまりにも当たり前のことが無駄に書かれていて単に読みづらくしているだけです
>> m∈[0,1)とおけば
こう書くと「mを[0,1)から任意に1つ選んでくると」という意味になります.
単に "m = cos^2(n!) と置くと" と書けばいいだけです.それとは別にこのようなmを用意するのは単に文章を冗長にするだけで全く必要ないです
>> 一般角をt、偏角をθとおくと「t=θ+2πp(θ∈[0,2π), p∈Z)」である。
「一般角」「偏角」という言葉も無駄に使われていて単に文章を読みづらくしているだけ
θ∈[0,2π), p∈Zにたいしてt=θ+2πpと置く
と書けばいいだけの話
>> cos^2(n!)と一般角の同値性を比較できる形では
この文章は全く意味をなしていません.「一般角の同値性を比較できる形」は単に単語を並べただけで数学的な意味を持たせたいのなら定義が必要.
>> cos^2(πxn!)(x∈Z , x∉Q-Z)
x∈Zならx∉Q-Zは自明すぎます.先にもかきましたが自明かつ不要なことをかきすぎです.
>> 一般角 n!≠πxn! なので
nは最終的に∞に飛ばす束縛変数なのでn!≠πxn!かどうかはどうでもいい話です.証明すべきは
m!≠πxn! (for any integers m, n, x)
で,これの証明が欠けています


## 53776に関して
「π∈Qを仮定すると」はOKですが
その後ろの「π=a/b (b≠0)」はなぜここに急に登場してるのか意味不明な上に書き方が曖昧すぎます
たとえば「π∈Qと仮定すると,整数a,b (b≠0)を用いてπ=a/bとかける」ならOKです.
>> ただし、「n」「k」は自然数の極限をとるものとする。
感想文を書いているわけではないのですから「n」「k」など括弧で囲うようなムダはやめましょう.
「自然数の極限」も意味不明です.せめて「ただし,lim(n→∞)は自然数の範囲での極限を意味する」等にしてください
>> 次に,上記式より
>> cos^2(n!) = 1
これもnは束縛変数であることを忘れている混乱からくる誤解です
lim(n→∞) lim(k→∞) cos^(2k)(n!) = 1
のnは束縛変数といって,この式の左辺も右辺もnには依存しません.
よってcos^2(n!) = 1という等式はnが何であるかを指定しないと意味がないです.任意の正整数nに関してですか?それともある正整数nに関して??

他にも色々ありますが多すぎて全部指摘するのは無理なのでとりあえずここまで
219-122-135-142f1.osk2.eonet.ne.jp (219.122.135.142)
Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10.11; rv:50.0) Gecko/20100101 Firefox/50.0

53776.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月05日(金) 22時08分
Size: 157KB

やり方を変えてみました。
PDFを添付します。
ご確認ください。
(馬鹿猫/質問者)
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.132 Safari/537.36


53771.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月05日(金) 17時40分
定義より、k、nは自然数とする。
cos^2(n!)≠1のとき
cos^2(n!)は[0,1)であるから
m∈[0,1)とおけば
lim[n→∞]lim[k→∞]cos^2k(n!)
=lim[n→∞](lim[k→∞](cos^2(n!))^k)
=lim[n→∞](lim[k→∞]m^k)
=lim[n→∞](0)
=0

※kの方が先に極限を取っているのに注意!

P.S.
一般角をt、偏角をθとおくと「t=θ+2πp(θ∈[0,2π), p∈Z)」である。
これからは、偏角である場合においては、一般角を偏角と読み替えるものとする。

cos^2(n!)と一般角の同値性を比較できる形では
cos^2(πxn!)(x∈Z , x∉Q-Z)
でない限り 1 にはなりません。
一般角 n!≠πxn! なので
cos^2(n!)≠cos^2(πxn!)(x∈Z , x∉Q-Z)=1
となります。よって
cos^2(n!)≠1
です。
前述より、cos^2(n!)≠1∈[0,1)のときは
lim[n→∞]lim[k→∞]cos^2k(n!)=0
です。
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.132 Safari/537.36

53768.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月05日(金) 14時19分
確かに、ニーベン・インケリの定理とかリンデマンの定理を使えば一発ですよね。
このやり方での証明は無理ですか…
(馬鹿猫/質問者)
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.108 Safari/537.36

53767.Re: πの無理性について  
名前:ぽけっと    日付:2018年01月05日(金) 14時20分
少なくとも

>> cos^2(n!)≠1
>> であり
>> lim[n→∞]lim[k→∞]cos^2k(n!)≠1
>> が成立します。

の部分で論理が飛躍しています
cos^2(n!)≠1であるからといって,lim[n→∞]lim[k→∞]cos^2k(n!)≠1だとは言えません


ちなみにこれは「その部分の書き方がおかしくて,少し修正したら正しい証明になる」という類の指摘ではありません
本質的にそのやり方でπの無理数性を示すのは無理だと思います
何か飛び道具(大きな定理)を使うのなら話は別ですが.


ps.
あと本質的ではないですが「係数比較」という言葉を意味が曖昧なまま使用されています.使うなら意味をはっきりさせるべきです.
とくに「余弦関数の一般角を係数比較できる形」という日本語は(「一般書く」の定義の曖昧さもあいまって)意味不明です
他にも「πの値を整理」や「πのままで存在させておく」も同様に意味不明です.少なくとも数学の証明に書く言葉ではありません
om126237122104.9.openmobile.ne.jp (126.237.122.104)
Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10.11; rv:50.0) Gecko/20100101 Firefox/50.0

53765.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月05日(金) 13時48分
Size: 329KB

PDFを添付します。
ご確認ください。
(馬鹿猫/質問者)
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.108 Safari/537.36


53764.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月05日(金) 15時35分
>>cos([整数の階乗])≠cos(π*[整数])=1
>>であるので
>この理由が不明なのですが。
たしかにそうですね。
私もその式だと意味が分かりません。

>まずここで論理が飛躍しています
>さらに極限が一致するための必要条件はcosが一致することではありません
たしかにそうですね。
まず、余弦関数自体は比較せず、一般角のみを比較すればどうでしょうか。
両辺にn!を含めた式で n! が n!=πxn!(x∈Z , x∉Q\Z)ならば、極限は一致します。なぜならば、余弦関数が 1 か -1 をとるのは、cos0、cosπm、cos2πm(m∈Z)のときのみだからです。増減表と周期が2πなことの証明については「杉浦光夫著:解析入門T、p182」にありますので、省略させてください。たぶん、皆さん持っておられると思いますので。


cos^2(πxn!)=1(x∈Z , x∉Q-Z)
だから
lim[n→∞]lim[k→∞]cos^2k(πxn!)=1
が成立します。
すなわち、余弦関数は
cos^2(n!)と一般角の同値性を比較できる形では
cos^2(πxn!)(x∈Z , x∉Q-Z)
でない限り 1 にはなりません。

ところが、一般角n!≠πxn!なので
cos^2(n!)≠cos^2(πxn!)(x∈Z , x∉Q-Z)=1
となります。よって
cos^2(n!)≠1
であり
lim[n→∞]lim[k→∞]cos^2k(n!)≠1
が成立します。

さらに言えば、n は 階乗 n! の定義から、自然数か正の整数でなければなりません。なぜならば、階乗 n! はガンマ関数でないからです。
なので、n は自然数か正の整数の極限をとらなければなりません。

したがって
lim[n→∞]lim[k→∞]cos^2k(n!)≠lim[n→∞]lim[k→∞]cos^2k(πxn!)
です。
(馬鹿猫/質問者)
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.108 Safari/537.36

53758.Re: πの無理性について  
名前:ぽけっと    日付:2018年01月05日(金) 06時38分
さるさんの指摘に加えて.

>>>すなわち、余弦関数は
cos(πx*[整数の階乗])(x∈Z)
でない限り 1 にはなりません。

まずここで論理が飛躍しています
さらに極限が一致するための必要条件はcosが一致することではありません
219-122-135-142f1.osk2.eonet.ne.jp (219.122.135.142)
Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10.11; rv:50.0) Gecko/20100101 Firefox/50.0

53757.Re: πの無理性について  
名前:さる    日付:2018年01月05日(金) 03時25分
>cos([整数の階乗])≠cos(π*[整数])=1
>であるので
この理由が不明なのですが。

cos([整数の階乗])≠1
を既知のものとして証明するならば、πの無理数性が従うのはわかりますが、cos([整数の階乗])≠1が成立することを示すのは簡単ではないと思います。
ag004074.dynamic.ppp.asahi-net.or.jp (157.107.4.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64; rv:57.0) Gecko/20100101 Firefox/57.0

53755.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月05日(金) 01時35分
cos(πx*[整数の階乗])=1(x∈Z)
だから
lim[n→∞]lim[k→∞]cos^2k(πxn!)=1
が成立します。
すなわち、余弦関数は
cos(πx*[整数の階乗])(x∈Z)
でない限り 1 にはなりません。
要は
cos(π*[整数])
でなければ 1 にはなりません。

ところが
cos([整数の階乗])≠cos(π*[整数])=1
であるので
cos([整数の階乗])≠1
であり
lim[n→∞]lim[k→∞]cos^2k(n!)≠1
が成立します。

さらに言えば、n は 階乗 n! の定義から、自然数か正の整数でなければなりません。なぜならば、階乗 n! はガンマ関数でないからです。
なので、n は自然数か正の整数の極限をとらなければなりません。

したがって
lim[n→∞]lim[k→∞]cos^2k(n!)≠lim[n→∞]lim[k→∞]cos^2k(πxn!)
です。
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.108 Safari/537.36

53754.Re: πの無理性について  
名前:ぽけっと    日付:2018年01月04日(木) 23時48分
Original Size: 651 x 197, 40KB

本質的に全く変わっていません
添付画像部分に論理の飛躍があります

「係数比較と余弦関数の特性より」という文言も具体的に書かない限りほぼ無意味です.
その上 極限を取っているので余弦関数の性質どうのこうので示せるものではありません
219-122-135-142f1.osk2.eonet.ne.jp (219.122.135.142)
Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10.11; rv:50.0) Gecko/20100101 Firefox/50.0


53753.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月04日(木) 23時39分
Size: 344KB

>ここが論理の飛躍
係数比較と余弦関数の特性より
n! = πxn!
でなければならない。しかしながら
n! ≠ πxn!
である。

詳細はPDFにて。
(馬鹿猫/質問者)
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.108 Safari/537.36


53750.Re: πの無理性について  
名前:ぽけっと    日付:2018年01月04日(木) 21時47分
Original Size: 512 x 236, 31KB

ここが論理の飛躍
219-122-135-142f1.osk2.eonet.ne.jp (219.122.135.142)
Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10.11; rv:50.0) Gecko/20100101 Firefox/50.0


53746.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月04日(木) 18時59分
Size: 344KB

「lim_{n→∞}a_n = lim_{n→∞}b_n」
が意味するのは、
「(1) a_n, b_nがともに収束してその収束する値が等しい」
です。

2行目は
lim_{n→∞}a_n = lim_{n→∞}a_n
を示しています。
右辺と左辺は同じ数列です。

再びPDFを添付します。
ご確認をお願いします。
(馬鹿猫/質問者)
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.108 Safari/537.36


53739.Re: πの無理性について  
名前:mochi    日付:2018年01月04日(木) 11時34分
前回指摘漏れしていました.今回のpdfでも2,12~15行目に関係してきます.
極限の扱い方について,
数列{a_n}, {b_n}に対して
「lim_{n→∞}a_n = lim_{n→∞}b_n」
が意味するのは次のどちらですか

(1)
a_n, b_nがともに収束してその収束する値が等しい

(2)
a_n, b_n がともに収束しない.またはともに収束してその収束する値が等しい

追記:
(1)の場合2行目が(2)の場合12~15行目がおかしくなります.

追記の追記:
(2)の場合に限らずとも12~15行目はおかしいかも
softbank218115146079.bbtec.net (218.115.146.79)
Mozilla/5.0 (X11; Linux x86_64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Ubuntu Chromium/63.0.3239.84 Chrome/63.0.3239.84 Safari/537.36

53738.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月04日(木) 11時23分
Size: 312KB

添付のPDFの確認をお願いします。

※ n! は、当たり前ですが、n!/b ではありません。
(馬鹿猫/質問者)
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.108 Safari/537.36


53736.Re: πの無理性について  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年01月04日(木) 10時41分
>lim_[n→∞]lim_[k→∞]cos^{2k}(n!)≠lim_[n→∞]lim_[k→∞]cos^{2k}(πx・n!) (x∈Z)

何故このことが言えるのでしょうか.場合によっては先ほどの資料の時と同様な欠点に陥っている可能性があります.
KD182249242129.au-net.ne.jp (182.249.242.129)
Mozilla/5.0 (iPhone; CPU iPhone OS 10_3_3 like Mac OS X) AppleWebKit/603.3.8 (KHTML, like Gecko) Version/10.0 Mobile/14G60 Safari/602.1

53734.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月04日(木) 10時31分
すいませんでした。
論理が破綻している箇所を認識しました。
(馬鹿猫/質問者)
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.108 Safari/537.36

53733.Re: πの無理性について  
名前:mochi    日付:2018年01月04日(木) 10時00分
4行目,6行目でxを整数に限定している点について
(13行目までの証明が正しいかどうかは置いといて)13行目までから言えることは1/πが整数でないことです.
また,7,8,9行目に整数に限定した理由がありますが,「π(整数)(階乗)」の形にしなければならない理由も教えて欲しいです.(後のどこでそれが使われているのかがわかりません)
softbank218115146079.bbtec.net (218.115.146.79)
Mozilla/5.0 (X11; Linux x86_64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Ubuntu Chromium/63.0.3239.84 Chrome/63.0.3239.84 Safari/537.36

53732.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月04日(木) 09時47分
Size: 250KB

その通りですね。
ところで、添付のPDFの気になる点を教えて下さい。
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.108 Safari/537.36


53731.Re: πの無理性について  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年01月04日(木) 09時18分
>ここで、n!≠πxn! (x∈Q) であるから


これは誤りです.何故なら,仮定により「1/π∈Qかつn!=π・1/π・n!」が成立するからです.



>lim_[n→∞]lim_[k→∞]cos^{2k}(n!)≠lim_[n→∞]lim_[k→∞]cos^{2k}(πx・n!)


これも誤りです.実際,1/π∈Qにより

lim_[n→∞]lim_[k→∞]cos^{2k}(n!)=lim_[n→∞]lim_[k→∞]cos^{2k}(π・1/π・n!)=1

であり,一方でx∈Qにより

lim_[n→∞]lim_[k→∞]cos^{2k}(πx・n!)=1

であって両者の極限は一致します.
(仮定を使わずにlim_[n→∞]lim_[k→∞]cos^{2k}(n!)≠1を帰結させているならば,該当箇所は問題ありません.)
KD182249242130.au-net.ne.jp (182.249.242.130)
Mozilla/5.0 (iPhone; CPU iPhone OS 10_3_3 like Mac OS X) AppleWebKit/603.3.8 (KHTML, like Gecko) Version/10.0 Mobile/14G60 Safari/602.1

53730.Re: πの無理性について  
名前:mochi    日付:2018年01月04日(木) 08時59分
Morleyさん

9,10,11行目について
命題「数列a_{n, k}に対し,a_{n, k}≠a_{n', k'} ⇒
lim_{n→∞}lim_{k→∞}a_{n, k}≠lim_{n'→∞}lim_{k'→∞}a_{n', k'}」
は一般に成り立ちません(反例: a_{n, k}=1/n+(√2)/k )
なので10行目と11行目の極限をそれぞれ比較するべきです

が,考えると循環論法になってしまいました.(どうすれば出来るんだろうか...)
一応間違っている証明を書いておきます.

・lim_{n→∞}lim_{k→∞}cos^2k(n!) ≠ 1を示したい.
 任意に自然数nを取る.
 cos(n!)≠1,-1(この根拠がπが無理数であることを用いている?)
 cos^2(n!)<1より
 lim_{k→∞}(cos^2(n!))^k = 0
 nは任意だから,
 lim_{n→∞}lim_{k→∞}cos^2k(n!) = 0 ≠ 1
(大学 1 年)
softbank218115146079.bbtec.net (218.115.146.79)
Mozilla/5.0 (X11; Linux x86_64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Ubuntu Chromium/63.0.3239.84 Chrome/63.0.3239.84 Safari/537.36

53727.Re: πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月04日(木) 02時04分
Size: 302KB

>四行目でなぜxの範囲を整数に限定しているのですか?
有理数 a/b だと n! から b が割り算されてしまうので、n! にはならないのです。だから、整数に限定しただけです。

>ここを有理数にすれば「ゆえに1/πは無理数」の根拠(これが正しいのかが私もわからない)となる
1/π を有理数と仮定して矛盾を導いてもいいと思います。

>1/πを有理数と仮定すると4行目より
>lim_{n→∞}lim_{k→∞} cos(πn!(1/π)) = 1
>となり、11行目に矛盾する。
>と(少なくとも私にはあっているように思える)証明ができる
多分言いたいことは、添付のPDFのことだろうと思うので、査読してください。
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.108 Safari/537.36


53724.Re: πの無理性について  
名前:mochi    日付:2018年01月04日(木) 01時07分
同じような証明が正しいのかを考えている者です

四行目でなぜxの範囲を整数に限定しているのですか?
ここを有理数にすれば「ゆえに1/πは無理数」の根拠(これが正しいのかが私もわからない)となる

1/πを有理数と仮定すると4行目より
lim_{n→∞}lim_{k→∞} cos(πn!(1/π)) = 1
となり、11行目に矛盾する。

と(少なくとも私にはあっているように思える)証明ができる

勘違いしていたらすいません。。
(大学 1 年)
softbank218115146079.bbtec.net (218.115.146.79)
Mozilla/5.0 (X11; Linux x86_64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Ubuntu Chromium/63.0.3239.84 Chrome/63.0.3239.84 Safari/537.36

53721.πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月04日(木) 00時35分
Size: 164KB

πの無理性についてですが、添付のPDFで気になる点を教えて下さい。
お願いします。
(馬鹿猫/質問者)
p202163171074.tst.ne.jp (202.163.171.74)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.108 Safari/537.36



「53721.πの無理性について」への返信


特定の個人への誹謗中傷は無予告削除対象です。

   投稿KEY
   パスワード

EZBBS.NET produced by InsideWeb