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53769.Re: 外測度  
名前:数学弱者    日付:2018年01月05日(金) 14時37分
定義を再確認したところ解けました。

ご指摘ありがとうございました。
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53725.Re: 外測度  
名前:ぽけっと    日付:2018年01月04日(木) 01時10分
定義(や問題文)の書き方から混乱が伝わってきます

まずある用語の定義を理解するときは,「そもそも何に対して定義される言葉か」に注意すべきです

たとえば※2で「σ有限」という言葉の定義らしき何かが書かれていますが
* これは測度に関する言葉?
* それとも可測集合に対して定義される言葉?
さらにいえば
* 急にでてきたX_nはどんな集合?Xの部分集合?(だとしたらそんなX_nの存在は自明ですが・・・)
* 外測度の話をしていたはずなのに急に測度が出てきたのはなぜ?

他にも
* 「Γを外側度とする」とあるがどの集合上での話?
* Γ-可測集合と可測集合という2種類の言葉が登場するが同じ意味で使っている?
* 参照されているwikiの外測度の定義を見ると冪集合から[0,∞]への関数として外測度が定義されていますが,Γ((a,b])=b-aだと(a,b]型の集合に対してしか値が定義されていません.他の集合に対してはどう定義するの?
* そもそもB=(0,1]などと具体的な場合で考えていい問題ですか?一般の場合に構成しろという問題ではないの?

以上曖昧な点を挙げればキリがありませんが結局やることはσ有限性から存在が保証されている(互いに素とは限らない){A_j} [ただしΓ(A_j}<∞ (∀j)かつ,∪A_j=全体集合] から互いに素な{B_j}を構成するだけだと想像します.
B_1 = A_1
B_2 = A_2 \ A_1
...
という具合に.いずれにせよ各用語の定義をきちんと理解するほうが先です.
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53712.外測度  
名前:数学弱者    日付:2018年01月03日(水) 12時06分
数学の以下の問題で、考えてみたのですが解答がうまく作れません。

Γを外測度とする。Bがσ有限なΓ-可測集合であるとき、互いに素なΓ-可測集合B_jでΓ(B_j)<∞かつB=∪[n=1,∞]B_jとなるものを作れ。

※1 外測度の定義

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E6%B8%AC%E5%BA%A6

※2 σ有限の定義

全体集合がμ(X)<∞となるような測度μを有限測度と呼び、μ(X_n)<∞となる可測集合X_nがあり、X=∪[n=1,∞]X_nとなる測度μ

※3 可測集合の定義

Γを外測度としたとき、E⊂Xが可測集合であるとは、

全体集合Xに含まれる任意の集合Tに対して、

Γ(T)=Γ(T∩E)+Γ(T∖E)を満たすもの

_____________________________________________________
私が考えた解答は、解答にすらなっていないかもしれませんが、

B=(0,1]として、Γ((a,b])=b-aとする。すると、Γは外測度の定義を満たす。

また、B_n=(1/(n+1),1/n]とすると、(0,1]=∪[n=1,∞]B_nとなり、B_nは互いに素である。

全体集合をX=[0,1]とすれば、Bはσ有限なΓ可測集合となり、B_nもΓ-可測集合である。
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