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53695.Re: π^πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月01日(月) 23時46分
ご指摘のとおりです。
私のために貴重な時間をわざわざ割いて下さってありがとうございました。
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53693.Re: π^πの無理性について  
名前:Delta    日付:2018年01月01日(月) 14時40分
Size: 51KB

これを最後の返信にします。
πの無理数性の証明に対し、気になる点を羅列しました。
推敲していないので誤字脱字があったり、意味が通じない箇所があったりするかもしれませんが
pdfファイルであげておきます。

115-39-31-86.aichieast1.commufa.jp (115.39.31.86)
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53692.Re: π^πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月01日(月) 12時34分
ところで、URLのπの無理性についてはどうでしょうか。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%A9%E7%94%A8%E8%80%85:Morley41Wiki/%E8%90%BD%E6%9B%B8%E3%81%8D
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53691.Re: π^πの無理性について  
名前:Morley    日付:2018年01月01日(月) 11時24分
私の証明は間違っています。
まず、ディリクレの関数が0のときはπ^(logπ(有理数))でありえないので、そのことを私自身がよく認識して証明しないといけないですね。

上記を言いたかったのですが、睡眠不足でわけのわからないことを書いてしまいました。
すいません。
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53690.Re: π^πの無理性について  
名前:Delta    日付:2018年01月01日(月) 10時04分
申し訳ございませんが、
Morleyさんの言おうとしていることが自分には分からなくなってきたので、
この件については返信を控えようと思います。

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53683.Re: π^πの無理性について  
名前:Delta    日付:2017年12月31日(日) 20時13分
すみません、言いたいことがよく分からないので
もう少し詳しくお願いします。

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53681.Re: π^πの無理性について  
名前:Delta    日付:2017年12月31日(日) 20時05分
ごめんなさい、返信かぶっちゃいました。
>すいません。
>つまるところ、ディリクレ関数が0となるからといってn!xが整数ではないことまでしか言えず、n!xが有理数でないことまでは言えないということを例をもって示してくださったということですね。
ざっくりとしていますが言いたいことの一つはそれです。

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53680.Re: π^πの無理性について  
名前:Delta    日付:2017年12月31日(日) 20時03分
>つまり、おっしゃりたいのは、xが無理数だとn!xはnがどんなに大きい自然数でも「整数」とはならないということですね。
言いたいこととは違いますね。

自分が証明の中で言いたいことは
過去に書いた通りですが

>lim[k->∞](cos^2(π * a[n]))^k=0
>から言えることは
>a[n]が有理数ではないということではなくて
>a[n]が整数でないということにとどまる気がします。
とか
a[n]が無理数だからといってlim[n->∞]a[n]が有理数だとは限らない
ということです。
ただ、これらについて論じて論点がどこかにいってしまったので、
とりあえず自分が提示した証明のどこがおかしいのか考えてください。

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53679.Re: π^πの無理性について  
名前:Morley    日付:2017年12月31日(日) 19時54分
すいません。
つまるところ、ディリクレ関数が0となるからといってn!xが整数ではないことまでしか言えず、n!xが有理数でないことまでは言えないということを例をもって示してくださったということですね。
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53678.Re: π^πの無理性について  
名前:Morley    日付:2017年12月31日(日) 19時48分
つまり、おっしゃりたいのは、xが無理数だとn!xはnがどんなに大きい自然数でも「整数」とはならないということですね。
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53677.Re: π^πの無理性について  
名前:Morley    日付:2017年12月31日(日) 19時27分
たしかにその通りですね。
再度思考し直します。
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53676.Re: π^πの無理性について  
名前:Delta    日付:2017年12月31日(日) 19時20分
Size: 36KB

等号を含めないことは自分は何もおかしくないとは思いますが、
そこはとりあえずおいときます。
等号を含めたとしてa[n]=4となるようなnは存在しないので、
あまり論理の大筋には関係ありません。

納得できないのならば4であることは本質ではないので
5/2についても添付資料のように証明ができます。

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53675.Re: π^πの無理性について  
名前:Morley    日付:2017年12月31日(日) 19時01分
「4 = π^logπ(4) ≦ an ≦ (e^2/2)^logπ(4) ≒ 4.86 であるから、 an は整数になる。」という表記が正しいので、僕のURLの該当部分の「<」を「≦」に変更しました。正の整数の極限をとったときの値も含めないとおかしいですもんね。
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53674.Re: π^πの無理性について  
名前:Morley    日付:2017年12月31日(日) 18時49分
その通りですね。
考え直します。
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53673.Re: π^πの無理性について  
名前:Delta    日付:2017年12月31日(日) 18時20分
Size: 36KB

ごめんなさい、自分の中で論理がごっちゃになってきたので
とりあえずMorleyさんの証明と同じように4が無理数であることを示しました。
当然、4は有理数なのでこの証明は間違っているのですが、
どこが間違っているのか考えてみてください。

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53672.Re: π^πの無理性について  
名前:Morley    日付:2017年12月31日(日) 17時20分
0 でない有理数×無理数が無理数になることの証明。
0 でない有理数 a と 無理数 b について ab が有理数と仮定して ab = m/p とおくと、b = m/(ap) となり、無理数=有理数となってしまって矛盾。
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53671.Re: π^πの無理性について  
名前:Morley    日付:2017年12月31日(日) 17時06分
>ディリクレ関数の表記
>f(x)=lim[n->∞]lim[k->∞]{cos(π * n! * x))}^2k
>を説明するとxが有理数、つまりp/q (pは整数、qは自然数)で表されたとき、
>n≧qならばn!xが「整数」になり、整数mに対しcos^2(mπ)=1となることから
>関数値は1になります。
>逆にxが無理数だとn!xはnがどんなに大きい自然数でも「整数」とはならないので
>cos^2(π*n!x)<1となることから関数値は0になります。
nは正の整数です(そう定義されている)。0でない整数×無理数 = 無理数なので、x が無理数のとき、「n!x」は n がなんであれ無理数です。

>ディリクレ関数を
>f(x)=lim[n->∞]lim[k->∞]{cos(π * n! * x))}^2k
>と表したとき、nとkについて極限をとっていますが、
>これは数列a[n]の極限とは独立にとらなければなりません。
そんな規則はありません。
x = a[n]/n!(x は n の数列である)とおけばいいだけです。
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53667.Re: π^πの無理性について  
名前:Delta    日付:2017年12月31日(日) 14時05分
ディリクレ関数の表記
f(x)=lim[n->∞]lim[k->∞]{cos(π * n! * x))}^2k
を説明するとxが有理数、つまりp/q (pは整数、qは自然数)で表されたとき、
n≧qならばn!xが「整数」になり、整数mに対しcos^2(mπ)=1となることから
関数値は1になります。
逆にxが無理数だとn!xはnがどんなに大きい自然数でも「整数」とはならないので
cos^2(π*n!x)<1となることから関数値は0になります。

このような仕組みなのでディリクレ関数が0となるからといってn!xが整数ではないことまでしか言えず、
n!xが有理数でないことまでは言えません。

>lim[n->∞](lim[k->∞](cos^2(π * a[n]))^k) = lim[n->∞]0 = 0
>ならいかがですか?
ディリクレ関数を
f(x)=lim[n->∞]lim[k->∞]{cos(π * n! * x))}^2k
と表したとき、nとkについて極限をとっていますが、
これは数列a[n]の極限とは独立にとらなければなりません。

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53666.Re: π^πの無理性について  
名前:Morley    日付:2017年12月31日(日) 13時43分
>ディリクレ関数はn->∞で極限とっているため
>n!xは有理数か無理数か議論ができません。
lim[k->∞]を先に計算するので、議論できますよ。


>これはnについて極限をとっていないのでディリクレ関数とは言えないですよね。
lim[n->∞](lim[k->∞](cos^2(π * a[n]))^k) = lim[n->∞]0 = 0
ならいかがですか?
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53665.Re: π^πの無理性について  
名前:Delta    日付:2017年12月31日(日) 13時29分
ディリクレ関数はn->∞で極限とっているため
n!xは有理数か無理数か議論ができません。

それに
>lim[k->∞](cos^2(π * a[n]))^k=0
>が言えれば、a[n] ∉ Q です。
これはnについて極限をとっていないのでディリクレ関数とは言えないですよね。
これの反例としてa[n]=1/3を例に挙げていますがこれについてはどうですか。

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53664.Re: π^πの無理性について  
名前:Morley    日付:2017年12月31日(日) 13時27分
すなわち、lim[k->∞](cos^2(π * a[n]))^k=0になれば、ディリクレの関数の値が「0」であるので、a[n]は無理数であるといえます。
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53662.Re: π^πの無理性について  
名前:Morley    日付:2017年12月31日(日) 13時21分
lim[n->∞]lim[k->∞](cos^2(πn!x))^k の
xが有理数であれば、もちろんn!xは整数であり、ディリクレの関数の値は「1」です。
xが無理数であれば、無限に正の整数かけたn!と無理数xの積n!xは無理数であり、ディリクレの関数の値は「0」です。
このことから、ディリクレの関数の値が「0」であれば、n!xは無理数であるといえます。
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53661.Re: π^πの無理性について  
名前:Morley    日付:2017年12月31日(日) 13時19分
lim[n->∞]lim[k->∞](cos^2(πn!x))^k の
xが有理数であれば、もちろんn!xは整数であり、ディリクレの関数の値は「1」です。
xが無理数であれば、無限に正の整数かけたn!と無理数xの積n!xは無理数であり、ディリクレの関数の値は「0」です。
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53660.Re: π^πの無理性について  
名前:Delta    日付:2017年12月31日(日) 13時16分
たびたび返信すみません。

>lim[k->∞](cos^2(π * a[n]))^k=0
>が言えれば、a[n] ∉ Q です。

この部分についてよく理解できませんでした。

例えば、a[n]が1/3という値をとったとき、
lim[k->∞](cos^2(π * a[n]))^k
=lim[k->∞](cos^2(π * 1/3))^k
=lim[k->∞](1/4)^k
=0
となるんですがa[n]は有理数です。
なのでなぜ無理数に限定されるかという理由が欲しかったです...。

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53659.Re: π^πの無理性について  
名前:Morley    日付:2017年12月31日(日) 13時09分
a[n] = ((n!e^n)^2/(2n^(2n+1))))^π
a[n] = (n!^(2π)e^(2nπ)/(2^π * n^((2n+1)π)))
a[n] = n!*(n!^(2π-1)e^(2nπ)/(2^π * n^((2n+1)π)))
と考えましたがいかがでしょうか。

>あとnが正の整数であることは論点ではありませんし、
>自分もnを正の整数と思って議論しています。
すみません。
何が分からないのかが分からないので、ちょっと難儀しています。
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53658.Re: π^πの無理性について  
名前:Morley    日付:2017年12月31日(日) 13時06分
頭で数式変形をしているもので、数式変形の過程を省略している箇所があります。今回の場合は、n!が消えているわけではなく、a[n]を整理したら
a[n] = ((n!e^n)^2/(2n^(2n+1))))^π
a[n] = n!*(n!^(2π-1)e^(2nπ)/(2^π * n^((2n+1)π)))
となりましたので、それを表記しています。
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53657.Re: π^πの無理性について  
名前:Delta    日付:2017年12月31日(日) 13時05分
>私の主張は
>a[n] = ((n!e^n)^2/(2n^(2n+1))))^π
>a[n] = n!*(n!^(2π-1)e^(2nπ)/(2^π * n^((2n+1)π)))
>です。よって
>lim[k->∞](cos^2(π * a[n]))^k=0
>が言えれば、a[n] ∉ Q です。
すみません、自分にはこれが理解できないので
もう少し詳しく説明願います。

あとnが正の整数であることは論点ではありませんし、
自分もnを正の整数と思って議論しています。

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53656.Re: π^πの無理性について  
名前:Morley    日付:2017年12月31日(日) 12時53分
n!はガンマ関数でありませんし、分母のn^(2n+1)はゼロ除算できませんので、 n は正の整数(0を含まない自然数)です。
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53655.Re: π^πの無理性について  
名前:Morley    日付:2017年12月31日(日) 12時47分
私の主張は
a[n] = ((n!e^n)^2/(2n^(2n+1))))^π
a[n] = n!*(n!^(2π-1)e^(2nπ)/(2^π * n^((2n+1)π)))
です。よって
lim[k->∞](cos^2(π * a[n]))^k=0
が言えれば、a[n] ∉ Q です。

さらに、階乗(n!)と分母(n^(2n+1))の定義から n は正の整数(0を含まない自然数)です。
ですので、数列とおけます。

また、スターリングの公式より
既にlim[n->∞]a[n]=π^π
なので、整数ではありません。
よって、仮にnを正の整数として極限をとったとしても
lim[k->∞](cos^2(π * lim[n->∞]a[n]))^k=0
です。
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53654.Re: π^πの無理性について  
名前:Delta    日付:2017年12月31日(日) 12時11分
気になった点をいくつか

lim[k->∞](cos^2(π * a[n]))^k=0
から言えることは
a[n]が有理数ではないということではなくて
a[n]が整数でないということにとどまる気がします。

ディリクレ関数は
f(x)=lim[n->∞]{cos(π*n!*x)}^2k
という形で表せますが途中でこんがらがっているのかn!が消えていますね。
あとlim[n->∞]a[n]の無理数性を上の関数で示したいのならば、
lim[n->∞]f(a[n])ではなくf(lim[n->∞]a[n])から
無理数性の証明をする必要があります。

例えばa[n]=π^2/6-Σ[m=1;n]1/m^2とすると
lim[n->∞]f(a[n])=0
f(lim[n->∞]a[n])=1
となります(これは各項が無理数で極限が有理数となる数列で発生します)。
このように極限のとる順番で値は変化するのでa[n]で0になるから
lim[n->∞]a[n]でも0になるという理論は成り立たないです。

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53649.Re: π^πの無理性について  
名前:らすかる    日付:2017年12月31日(日) 05時30分
ちょっと私には勉強不足で理解できませんでしたので
他の回答者にお任せすることにします。
失礼しました。

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53648.Re: π^πの無理性について  
名前:Morley    日付:2017年12月31日(日) 05時27分
変な説明で申し訳ありません。
なんせ、岡潔レベルに頭が極限状態なので、まともな会話すらできていないと自覚しています。

n(n>=1)の値に依存せず、ディリクレの関数の式は
lim[n->∞]lim[k->∞](cos^2(π * a[n]))^k
=lim[n->∞]lim[k->∞](b[n])^k
=lim[n->∞]0
=0
であります。

恐らく気づいてもらえると思いますが、lim[n->∞]0 になったということは、a[n]をnの正の整数で極限をとっても、ディリクレの関数の式の値は変わらないということです。
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53646.Re: π^πの無理性について  
名前:Morley    日付:2017年12月31日(日) 05時04分
かなり言い方に語弊があるので訂正します。
まず
b[n]=cos^2(π * a[n])≠1
lim[k->∞](b[n])^k=0
であります。

nの値に依存せず、ディリクレの関数の式は
lim[n->∞]lim[k->∞](cos^2(π * a[n]))^k=0
lim[n->∞]lim[k->∞](b[n])^k=0
lim[n->∞]0=0
です。
もちろん、a[n]をnの正の整数の極限をとってもその関係は変わりません。
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53645.Re: π^πの無理性について  
名前:Morley    日付:2017年12月31日(日) 04時36分
解釈が違います。
数列a[n]をa[n]のnの正の整数の極限のπ^πに置換できるということを言っているのです。
普通、nの正の整数の極限をとらなければ、置換できません。
今回は幸運にも、n!のnは定義より非負整数ですし、分母のn^(2n+1)のnは定義より0以外です。すなわち、nは正の整数の極限をとります。
よって、数列を数列の極限値にそのまま置換できるので
b[n]=cos(π*π^π)≠1 となり
lim[k->∞](b[n])^k=0 となります。
よって、ディリクレの関数の式は0であり、π^πは無理数だと主張しています。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%A9%E7%94%A8%E8%80%85:Morley41Wiki/%E8%90%BD%E6%9B%B8%E3%81%8D2
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53643.Re: π^πの無理性について  
名前:らすかる    日付:2017年12月31日(日) 03時42分
私がちゃんと理解したかどうか怪しいですが、もしかして
「有理数でない数列の極限だから有理数でない」
と言っているのですか?

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53640.π^πの無理性について  
名前:Morley    日付:2017年12月31日(日) 02時41分
URLの証明は、数学的な作法に問題はないと思いますが、間違えがあれば指摘してください。
お願いします。
(数学愛好者/質問者)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%A9%E7%94%A8%E8%80%85:Morley41Wiki/%E8%90%BD%E6%9B%B8%E3%81%8D2
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