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53650.Re: ルベーグ積分 関数列の収束性  
名前:数学弱者    日付:2017年12月31日(日) 07時03分
ご回答ありがとうございます。

wikipediaに証明が載っていなかったので困っていました。

これで納得できました。
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53644.Re: ルベーグ積分 関数列の収束性  
名前:sphere    日付:2017年12月31日(日) 04時00分
すみません. 反例の2つ目を解くべきでしたね. 間違えてしまいました.

-「f へと局所的に測度収束する。」とありますが、局所的に測度収束する理由が分かりません。

通常の意味でも測度収束すると思います. すなわち, ε>0としたとき,
lim[n→∞]μ({x∈R: |f_n|>ε })=0 が成り立つ. 特に, 局所的に測度収束する.

まず, |f_n(x)|>0となるx全体からなる集合を考えてみます.
するとf_nの定義から, このような集合は [j/2^k, (j+1)/2^k] という形をしていることが
分かると思います(j,kの定義はwikipediaの該当箇所を見てください).

この集合のルベーグ測度は 1/2^kとなります(k=[log_{2}n]).
よって, μ({x∈R: |f_n|>ε })≦μ({x∈R: |f_n|>0})≦1/2^kとなります.
n→∞としたとき, k→∞となるから, lim[n→∞]μ({x∈R: |f_n|>ε })=0 が成り立つ.
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53642.Re: ルベーグ積分 関数列の収束性  
名前:sphere    日付:2017年12月31日(日) 03時33分
こんばんは.

f_nを集合[n,∞)上の指示関数とする(nは自然数).
f_nは0に局所的にμに関して測度収束すること示せ(μはR上のルベーグ測度).

ということを証明すればよいのですね.

ε>0, FをRのルベーグ可測集合でμ(F)<∞を満たすものとする.
任意の自然数nに対して, μ({x∈F : |f_n-0|>ε})≦(1/ε)∫_F |f_n|dμ.
ここでマルコフの不等式を用いた. 右辺はルベーグの収束定理から0に収束するので
lim[n→∞]μ({x∈F : |f_n-0|>ε})=0 である.

他にも解法があるかもしれません.
ルベーグの収束定理が使える状況になっていることは自分で確認してみて下さい.
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53638.ルベーグ積分 関数列の収束性  
名前:数学弱者    日付:2017年12月31日(日) 00時51分
かなり基本的な質問ですみません。

https://ja.wikipedia.org/wiki/測度収束

上のwikipediaのページにある反例の2つ目について質問です。

「f へと局所的に測度収束する。」とありますが、局所的に測度収束する理由が分かりません。

証明が分かる方がいれば教えてほしいです。

よろしくお願いします。
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「53638.ルベーグ積分 関数列の収束性」への返信


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