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53670.Re: 多様体Mの接ベクトルの係数とMの局所座標との同一視  
名前:カッティ    日付:2017年12月31日(日) 16時48分
同一視について接平面の類推で考えてみました。
かなりあやしいので間違い等指摘していただきたいです。

ご教授のほど、よろしくお願いいたします。

======================================================================
C^r級多様体Mの点pを含む座標近傍(U;x_1,...,x_m)とし、
その接ベクトル空間T_p(M)の元vをv_1*(∂/∂x_1)_p+...+v_m*(∂/∂x_1)_pとする。

Uが十分小さければ任意のx∈Uは適当なT_p(M)の元vによって、
x=(p_1+v_1,...,p_m+v_m)
と座標表示される(時間tを掛けていません。)

T_p(M)の別の元uは
u=u_1*(∂/∂u_1)_p+...+u_m*(∂/∂u_m)_p
と表されるとき、基底を変換をすると、
u'=Σ[i;1:m]Σ[j;1:m] u_i*(∂x_j/∂u_i)(p)*(∂/∂x_j)_p
と表される
係数はu'_j=Σ[i;1:m] u_i*(∂x_j/∂u_i)(p)で変換される。

任意のx∈Uは適当なuにより
x= ( p_1+Σ[i;1:m]u_i*(∂x_1/∂u_i)(p), ... , p_m+Σ[i;1:m]u_i*(∂x_m/∂u_i)(p) )
と表される。これはx→uの座標変換と見ることができ、
ヤコビ行列(∂x/∂u)(p)が存在して正則ならば、座標変換はC∞級写像である。
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(馬鹿猫/質問者)
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53636.多様体Mの接ベクトルの係数とMの局所座標との同一視  
名前:カッティ    日付:2017年12月30日(土) 19時09分
Size: 498KB

> (u_1, ..., u_m)と(y_1, ...,y_n)に関してf:R^m→R^nを座標表示して、
m次元C^r級多様体Mの局所座標(x_1,...,x_n)がどうしてT_p(M)の係数(u_1, ..., u_m)と
同一視されるか理解できません。

ご教授のほどよろしくお願い致します。
(馬鹿猫/質問者)
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