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DS 数学 BBS・2
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53604.Re: (untitled)  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年12月21日(木) 22時36分
>>さる様

>仰る通りですね.御指摘感謝致します.


>質問者様

見当違いなことをコメントし,申し訳ありません.No.53566の私のコメントは無視して頂けると幸いです.
KD182249242160.au-net.ne.jp (182.249.242.160)
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53574.Re: (untitled)  
名前:さる    日付:2017年12月20日(水) 00時30分
Browerの不動点定理は、D^nと同相な集合Eに対して成立することはすぐにわかります。
(D^nとEを同相写像で同一視すれば良い)

問題のS^nは、D^(n-1)と同相ですね。
z175254.dynamic.ppp.asahi-net.or.jp (110.4.175.254)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64; rv:57.0) Gecko/20100101 Firefox/57.0

53566.Re: (untitled)  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年12月19日(火) 16時39分
気になる点が他にも幾つかあります.画像を拝見するとBrouwerの不動点定理が使われていますが,この定理のステートメントは次の通りです:

[Brouwerの不動点定理のステートメント]
任意の連続写像f:D^n→D^nに対して,fは不動点を持つ.

このステートメントを踏まえると,この定理を上半球面からそれ自身への写像に適用することが出来るのかという疑問を抱きました.可能なのであれば画像にある議論は正当なものですが,そうでなければ不正当な議論となります.また,不動点定理のステートメントには写像の単射性が要請されていません.したがって,何故φに対する単射性の有無を調べる必要があるのかという疑問も抱きました.議論の説明はさらりと書かれていますが,もしかすると誤植の可能性もあるので,一つずつ慎重に調べて頂くとよいかもしれません.
____________________________________________

[Referenceになりそうなもの]
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1569-09.pdf
softbank126066036177.bbtec.net (126.66.36.177)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/58.0.3029.110 Safari/537.36 Edge/16.16299

53565.Re: (untitled)  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年12月19日(火) 16時09分
>φ(x)がx∈Sn⇒φ(x)∈Snであることの証明


次の言い換え;

φ(x)∈S^n
⇔|φ(x)|=1かつφ(x)≧0
⇔|(I+A)x|=1+Σ_[i=1,n]Σ_[j=1,n]a_[ij]x_[j]かつφ(x)≧0
(|・|はノルムの記号)

により,x∈S^nの時に

|(I+A)x|=1+Σ_[i=1,n]Σ_[j=1,n]a_[ij]x_[j]かつφ(x)≧0

が成り立つことを示せばよいです.特に上記のノルムの等式に関しては,δ_[ij]をクロネッカーのデルタとすれば,

|(I+A)x|
=Σ_[i=1,n]Σ_[j=1,n](δ_[ij]+a_[ij])x_[j]
=Σ_[i=1,n]Σ_[j=1,n]δ_[ij]x_[j]+Σ_[i=1,n]Σ_[j=1,n]a_[ij]x_[j]
=1+Σ_[i=1,n]Σ_[j=1,n]a_[ij]x_[j]
(∵|x|=1,δ_[ij]の定義)

の様にして示されます.一方,φ(x)≧0の証明は容易ですので,一度ご自身でお考え下さい.



>φ(x)が単射であることの証明


Aの選ばれ方によってφが単射とはならない場合があります.その例が下記のURL先の質問の回答に挙げられている様ですので,一度ご参考になられるとよいかもしれません.
http://www1.ezbbs.net/cgi/reply?id=dslender2&dd=19&re=53345
softbank126066036177.bbtec.net (126.66.36.177)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/58.0.3029.110 Safari/537.36 Edge/16.16299

53563.(untitled)  
名前:いー    日付:2017年12月19日(火) 12時10分
Original Size: 1363 x 1277, 411KB

まるでかこってる式のφ(x)がx∈Sn⇒φ(x)∈Snであることの証明とφ(x)が単射であることの証明をしたいのですが分からないので教えてください。
110-54-123-213.ppps.bbiq.jp (110.54.123.213)
Mozilla/5.0 (iPhone; CPU iPhone OS 11_1_2 like Mac OS X) AppleWebKit/604.3.5 (KHTML, like Gecko) Version/11.0 Mobile/15B202 Safari/604.1



「53563.(untitled)」への返信

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