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53386.Re: 集合論  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年12月12日(火) 00時56分
>問題の写像が双射であることは最終的に
「v_λ∈Π_[τ∈J_λ]X_τである様な任意の写像の族(v_λ)_[λ∈L]に対して,u(τ)∈X_τ(∀τ∈I)を満たすあるu:I→∪_[τ∈I]X_τがただ一つ存在し,u|_[J_λ]=v_λが全てのλ∈Lに対して成り立つ」ということと同値にであり、このことが成立すれば良いということですね。


そのことを示すことにより命題を証明してもよいですが,参考書に書かれていることに対する解釈としては正しくないです.寧ろ,参考書によるディレクションとしては,

・件の写像が双射であることを証明するために,その写像が単射かつ全射であることを示す.
・命題の証明後,先の言い換えにより件の写像が双射であることを違う観点から理解することが出来る.

といった感じでしょうか.参考書の該当箇所が言わんとすることを正確に把握することが出来るように努めてみて下さい.



>添付画像の青線部の主張は『v_λ∈Π_[τ∈J_λ]X_τである様な』任意の写像の族(v_λ)_[λ∈L]と書いていていないですが、青線部の主張から上の言い換えを導くことはできますか?


参考書の方では若干の略記がなされている様に思われます.また,個人的にはその記述は若干まずい気がします.一先ず,集合の直積の定義を正確に把握する様に努めてみて下さい.そうすると,その問いは解決するでしょうし,その記述はやや正確ではないことも分かります.
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53382.Re: 集合論  
名前:杉浦    日付:2017年12月11日(月) 18時29分
ぽんすれ氏さん

詳しく解説してくださりありがとうございます。

問題の写像が双射であることは最終的に
「v_λ∈Π_[τ∈J_λ]X_τである様な任意の写像の族(v_λ)_[λ∈L]に対して,u(τ)∈X_τ(∀τ∈I)を満たすあるu:I→∪_[τ∈I]X_τがただ一つ存在し,u|_[J_λ]=v_λが全てのλ∈Lに対して成り立つ」ということと同値にであり、このことが成立すれば良いということですね。
添付画像の青線部の主張は『v_λ∈Π_[τ∈J_λ]X_τである様な』任意の写像の族(v_λ)_[λ∈L]と書いていていないですが、青線部の主張から上の言い換えを導くことはできますか?

よろしくお願い致します。
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53366.Re: 集合論  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年12月10日(日) 20時17分
>添付画像の命題7の証明で問題の写像が双射であるということがなぜ青線部の事実が正しければいいのでしょうか?


寧ろ,該当箇所では「件の写像が双射であることを,青線部の記述の様に言い換えることが出来る」ということが述べられている気がします.まずは,その点が認識出来ているか否かがポイントです.また,直積集合の定義を踏まえると,

Π_[τ∈I]X_τ
={f:I→∪_[τ∈I]X_τ|f(τ)∈X_τ,∀τ∈I},
Π_[λ∈L](Π_[τ∈J_λ]X_τ)
={g:L→∪_[λ∈L](Π_[τ∈J_λ]X_τ)|g(λ)∈Π_[τ∈J_λ]X_τ,∀λ∈L}
={g:L→∪_[λ∈L](Π_[τ∈J_λ]X_τ)|(g(λ)[τ]∈X_τ,∀τ∈J_λ),∀λ∈L}

であるため,「f∈Π_[τ∈I]X_τに対して,pr_[J_λ]f=f|_[J_λ](λ∈L)である」ということに注意すると,

「写像Π_[τ∈I]X_τ∋f→(pr_[J_λ]f)_[λ∈L]∈Π_[λ∈L](Π_[τ∈J_λ]X_τ)は双射である」
⇔「任意の(v_λ)_[λ∈L]∈Π_[λ∈L](Π_[τ∈J_λ]X_τ)に対して,あるu∈Π_[τ∈I]X_τがただ一つ存在し,(pr_[J_λ]u)_[λ∈L]=(v_λ)_[λ∈L]が成り立つ」
⇔「任意の(v_λ)_[λ∈L]∈Π_[λ∈L](Π_[τ∈J_λ]X_τ)に対して,あるu∈Π_[τ∈I]X_τがただ一つ存在し,pr_[J_λ]u=v_λが全てのλ∈Lに対して成り立つ」
⇔「v_λ∈Π_[τ∈J_λ]X_τである様な任意の写像の族(v_λ)_[λ∈L]に対して,u(τ)∈X_τ(∀τ∈I)を満たすあるu:I→∪_[τ∈I]X_τがただ一つ存在し,u|_[J_λ]=v_λが全てのλ∈Lに対して成り立つ」

の様に言い換えることが出来ます.青線部の言わんとすることは,恐らくは上記の言いかえの結果で登場するステートメントではないかと思います.
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53308.集合論  
名前:杉浦    日付:2017年12月06日(水) 12時12分
Original Size: 542 x 269, 66KB Original Size: 525 x 124, 34KB

添付画像の命題7の証明で問題の写像が双射であるということがなぜ青線部の事実が正しければいいのでしょうか?

教えていただけないでしょうか?
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