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53319.Re: 可測集合@  
名前:数学弱者    日付:2017年12月07日(木) 01時48分
sphereさん。

丁寧なご解説ありがとうございました。
(大学 3 年/質問者)
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53318.Re: 可測集合@  
名前:sphere    日付:2017年12月07日(木) 00時49分
はい. 大体良いかと思います. (2)は集合Aに対してE_jをどのようにとったのかを
もう少し詳しく書く必要があると思います.

infの定義より、任意のε>0において、
Σ[n=1,∞](μ(E_j))<μ''(A)+εとなるE_j∈Bが存在。

これだとまだ不十分で

infの定義より, 任意のε>0に対して、
A⊂∪[n=1,∞](E_j) かつ Σ[n=1,∞](μ(E_j))<μ''(A)+εとなる
可測集合の列E_j∈Bが存在する.

と書くべきでしょう.
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53279.Re: 可測集合@  
名前:数学弱者    日付:2017年12月05日(火) 11時23分
ご返信が遅れて申し訳ございません。

解答を訂正してみたのですが、以下で大体合っておりますでしょうか?

(1)

infの定義より、任意のε>0においてμ(E)<μ'(A)+ε、A⊂Eを満たすE∈Bが存在する。

そこで、E_1=E、E_n=φ(nは1以外の自然数)とすると、

Σ[n=1,∞](μ(E_j))=μ(E)となり、infの定義よりμ''(A)≦Σ[n=1,∞](μ(E_j))となるので、

任意のε>0において、μ''(A)≦μ(E)<μ'(A)+εとなるので、μ''(A)≦μ'(A)が成立。

(2)

(X,B,μ)を測度空間なので、E_j∈Bならば、∪[n=1,∞](E_j)∈Bとなる。

∪[n=1,∞](E_j)=Fとする。すると、測度の可算劣加法性より、

μ(∪[n=1,∞](E_j))=μ(F)≦Σ[n=1,∞](μ(E_j))となる。

また、infの定義より、任意のε>0において、

Σ[n=1,∞](μ(E_j))<μ''(A)+εとなるE_j∈Bが存在。

よって、μ'(A)≦μ(F)となるので、μ'(A)<μ''(A)+εが任意のε>0で成立するので、μ'(A)≦μ''(A)が成立。

以上(1)、(2)より、μ'(A)=μ''(A)が成立。
(大学 3 年/質問者)
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53251.Re: 可測集合@  
名前:sphere    日付:2017年12月04日(月) 06時07分
おはようございます.

その解答では不十分だと思います.

Xの任意の部分集合Aに対して, 次の2つの不等式
(1) μ''(A)≦μ'(A), (2) μ'(A)≦μ''(A)
を(infの定義に基づいて)個別に証明すべきだと思います.

質問者様の解答を少し改善することで, (1)の不等式が得られると思います.
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53248.可測集合@  
名前:数学弱者    日付:2017年12月04日(月) 02時02分
(X,B,μ)を測度空間とする。2つの集合関数

μ'(A)=inf{μ(E):A⊂E,E∈B}
μ''(A)=inf{Σ[n=1,∞](μ(E_j)),A⊂(∪[n=1,∞](E_j)),E_j∈B}

は一致することを示したいのですが、下の解答で問題点があればどう訂正すれば良いか教えてほしいです。

よろしくお願いします。

(私の解答)

E_1=E∈B、E_n(n∈Nでn≠1)=φ(空集合)とすると

(∪[n=1,∞](E_j))=Eとなり、Σ[n=1,∞](μ(E_j))=μ(E)となるので、μ''(A)は以下の様に書き換えることが出来る。

μ''(A)=inf{μ(E):A⊂E,E∈B}

よって、これはμ'(A)と等しいので、2つの集合関数は一致。
(大学 3 年/質問者)
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