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53103.Re: ルベーグの収束定理A  
名前:数学弱者    日付:2017年11月27日(月) 22時50分
ご返信遅れましてすみません。

ご指摘のところをもう一度見直したいと思います。

ご回答ありがとうございます。
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53046.Re: ルベーグの収束定理A  
名前:さる    日付:2017年11月26日(日) 03時11分
(1)の始めで、F(x)の可微分性(積分と微分の順序交換)を論じていますが、その部分は説明不足かと。

積分と微分の順序交換をするために、どのような定理を用いていますか?
そこでの仮定を満たすことを全てチェックしていますか?
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53044.ルベーグの収束定理A  
名前:数学弱者    日付:2017年11月26日(日) 00時56分
以下の問題の解答についてこれで大丈夫か見てほしいです。

F(x)=∫e^(-y^2)cos(2xy)dy(積分区間は-∞から∞)とおく。この時

(1)F'(x)+2xF(x)=0であることを示せ。

(2)F(x)=√πe^(-x^2)であることを示せ。

______________________________________________________

(1)

|e^(-y^2)cos(2xy)|≦e^(-y^2)より、e^(-y^2)は非負実数値の可積分関数より、F(x)はxで微分可能であり、積分と微分の順序交換ができる。よって、

F'(x)
=d/dx∫e^(-y^2)cos(2xy)dy
=∫{d/dx(e^(-y^2)cos(2xy))}dy
=∫-2ye^(-y^2)sin(2xy)dy
=[e^(-y^2)sin(2xy)]-2x∫e^(-y^2)cos(2xy)dy
=-2x∫e^(-y^2)cos(2xy)dy
=-2xF(x)となるので、
F'(x)+2xF(x)=0となることが示された。

(2)

F(0)=∫e^(-y^2)dy=√πとなり、(1)より、
F'(x)+2xF(x)=0,F(0)=√πの微分方程式を解くと、一般解は積分定数をCとして、
F(x)=Ce^(-x^2)となるので、F(0)=√πよりC=√π

よって、F(x)=√πe^(-x^2)となる。

よろしくお願いします。
(質問者)
p2037005-ipbf907sapodori.hokkaido.ocn.ne.jp (118.1.61.5)
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「53044.ルベーグの収束定理A」への返信


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