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52947.Re: ルベーグ解析  
名前:木曜日    日付:2017年11月21日(火) 16時11分
n次元だとかなり証明が複雑になると思っていたので驚きです。

sphereさん、ありがとうございます。
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52890.Re: ルベーグ解析  
名前:sphere    日付:2017年11月20日(月) 03時35分
おはようございます.

(1) 写像 R^n×R^n∋(x,y)↦x・y∈Rは連続関数なのでBorel可測. fもBorel可測.
よってその合成 R^n×R^n∋(x,y)↦f(x・y)∈R∪{±∞}もBorel可測です.

(2) 写像 R^n×R^n∋(x,y)↦x+y∈R^nは連続関数なのでBorel可測. fもBorel可測.
よってその合成 R^n×R^n∋(x,y)↦f(x+y)∈R∪{±∞}もBorel可測です.
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52856.ルベーグ解析  
名前:木曜日    日付:2017年11月19日(日) 12時48分
以下の2問がわかりません。ご解説お願いします。

(1)

R^nの内積をx=(x_1,x_2,・・・,x_n),y=(y_1,y_2,・・・,y_n)に対して、x・y=Σ[j=1,n]x_jy_jで定義する。

f:R→R∪{±∞}がRのBorel可測関数ならば、f(x・y)はR^n×R^nのBorel可測関数であることを示せ。

(2)

f:R^n→R∪{±∞}がR^nのBorel可測関数ならば、f(x+y)はR^n×R^nのBorel可測関数であることを示せ。

n次元でのBorel可測の示しかたが分からず困っています。

ご解説よろしくお願いします。
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