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52653.Re: ルベーグの収束定理  
名前:数学弱者    日付:2017年11月13日(月) 22時27分
ITさん。

ご返信が遅れて申し訳ございません。

資料をありがとうございます。見てみます。

sphereさん。

lim[a→0]です。
p1677011-ipbf307sapodori.hokkaido.ocn.ne.jp (153.205.91.11)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; WOW64; Trident/7.0; rv:11.0) like Gecko

52638.Re: ルベーグの収束定理  
名前:IT    日付:2017年11月13日(月) 22時12分
sphere さんへ

 f(0)が結果に出てくることから x=0 の近傍でのf(x)が効いてくる
lim[a→0]で合っていると思います。 
y=g(x)=a/(x²+a²)のグラフは、lim[a→∞]とすると、どんどん山が低くなりフラットなグラフになります。

数学弱者 さんへ

x = au と変数変換するといいと思います。

下記の16ページに、ほとんど同じ問題があり、図付きで解答があります。
https://www.morikita.co.jp/data/mkj/005431mkj.pdf

p96073-ipngn200205matsue.shimane.ocn.ne.jp (123.219.44.73)
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; WOW64; Trident/7.0; rv:11.0) like Gecko

52637.Re: ルベーグの収束定理  
名前:sphere    日付:2017年11月13日(月) 02時44分
lim[a→0]ではなくlim[a→∞]ではないですか?
softbank060067157133.bbtec.net (60.67.157.133)
Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10_12_6) AppleWebKit/604.3.5 (KHTML, like Gecko) Version/11.0.1 Safari/604.3.5

52630.ルベーグの収束定理  
名前:数学弱者    日付:2017年11月12日(日) 21時09分
以下の問題についてですが、分かりません。

f(x)がx=0で連続かつ、−∞<x<∞で有界な時、

lim[a→0]∫[−∞,∞](af(x))/(x²+a²)dx=πf(0)となることを示せ。

ここで、まずfは有界であることから|f(x)|<Mとなる実数Mが存在して

|(af(x))/(x²+a²)|<|a|M/(x²+a²)とおさえることができました。

しかし、その後で、g(x)=lim[a→∞](af(x))/(x²+a²)とおくと、

g(x)=0(x≠0)、g(x)=∞(x=0)となってしまい、

∫[−∞,∞]g(x)dxとなって

答えであるπf(0)にたどり着きません。

極限をどう処理すればよいか教えてください。
p2037151-ipbf907sapodori.hokkaido.ocn.ne.jp (118.1.61.151)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; WOW64; Trident/7.0; rv:11.0) like Gecko


「52630.ルベーグの収束定理」への返信


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