[ ホームページ ] [ 携帯用URL ]
DS 数学 BBS・2
小中高の範囲は DS 数学 BBS(携帯電話用)へ。
数学以外の話題は赤猫雑談掲示板で。
注意事項, 記号の書き方例をお読みになった上でご利用ください。

[ EZBBS.NET | 新規作成 | ランキング | サポート ]
名前 一覧
 E-mail 
題名
内容

投稿KEY    タグ有効 改行有効 等幅フォント
URL
添付

 
掲示板のTOP | 過去ログ集 | 投稿練習 | よく質問される問題 | エッセイblog



52364.Re: 関数が生成するσ加法族  
名前:数学弱者    日付:2017年11月04日(土) 22時40分
astさん。

ご回答ありがとうございました。

理解できました。
(質問者)
p1781243-ipbf1809sapodori.hokkaido.ocn.ne.jp (153.206.119.243)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; WOW64; Trident/7.0; rv:11.0) like Gecko

52362.Re: 関数が生成するσ加法族  
名前:ast    日付:2017年11月04日(土) 22時10分
まずいったん間接的な説明を挟みます.

ボレル可測函数 f のおそらく普通目にする定義は, 任意の {x | f(x) ≥ a} (a ∈ R) が可測集合 (i.e. ∈ B(R)) となること, というようなものだと思いますが, これは半開区間族 [a,∞) (a ∈ R) が B(R) の一つの生成系となることによるものです ("≥" を ">" に変えてもよい; その場合半開区間 [a,∞) ではなく開区間 (a,∞) を考えていることになる. もちろん逆向きの不等号でも同様).
# {x | f(x) ≥ a} = f^(-1)([a,∞)) に注意
つまり, ボレル加法族の生成元における逆像の様子が分かれば, 函数のボレル可測性を知るには十分というのがこのような定義の根底にあるということになります.

話を戻して, 適当な生成系 B ⊂ B(R) に対して {f^(-1)(B) | B ∈ B} が知れれば, (逆像の性質を用いて) σ[f] は {f^(-1)(B) | B ∈ B} で生成されるものだとわかるはずです.
em111-188-0-131.pool.e-mobile.ne.jp (111.188.0.131)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64; rv:56.0) Gecko/20100101 Firefox/56.0

52358.関数が生成するσ加法族  
名前:数学弱者    日付:2017年11月04日(土) 17時10分
以下の問題の解答をどう書けばよいか分かりません。

・f:X→Rに対してσ[f]={f^(-1)(F):F∈B(R)}とします。これはfが可測となる最小のσ-加法族となります。

X=R、f(x)=x^2の時、σ[f]を求めよ。

f(x)=xの時は、f^(-1)(F)=Fとなるので、σ[f]={F:F∈B(R)}=B(R)とすぐに解答が書けました。

f(x)=x^2の時も何となくσ[f]=B(R)となるのは分かりますが、f^(-1)(F)をどう表せばよいのか分かりません。

教えてください。よろしくお願いします。
(質問者)
p2034170-ipbf906sapodori.hokkaido.ocn.ne.jp (222.145.110.170)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; WOW64; Trident/7.0; rv:11.0) like Gecko


「52358.関数が生成するσ加法族」への返信


特定の個人への誹謗中傷は無予告削除対象です。

   投稿KEY
   パスワード

EZBBS.NET produced by InsideWeb