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52115.Re: 単項イデアル整域であることの証明  
名前:通りすがり    日付:2017年10月24日(火) 00時54分
すみません.一つ前の投稿の

> (2) 1 次元局所ネーター整域 R について,R が DVR であることと,R が PID であることは同値です

は誤りです.

(2) 1 次元局所ネーター整域 R について,R が DVR であることと,R の極大イデアルが単項イデアルであることは同値です

に修正致します.
p1016190-ipngn200804fukuokachu.fukuoka.ocn.ne.jp (180.52.161.190)
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52114.Re: 単項イデアル整域であることの証明  
名前:通りすがり    日付:2017年10月24日(火) 00時49分
(1) 1 次元ネーター整域 R について,R がデデキントであることと,任意の零イデアルではない素イデアル p に関する局所化 R_p が DVR(離散付値環)であることは同値です.

(2) 1 次元局所ネーター整域 R について,R が DVR であることと,R が PID であることは同値です.

(1),(2) から直ちに問題の R はデデキント環であることが分かります.

(1),(2) については,Atiyah-MacDonald や松村に記載されていると思います.
(回答者)
p1016190-ipngn200804fukuokachu.fukuoka.ocn.ne.jp (180.52.161.190)
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52110.Re: 単項イデアル整域であることの証明  
名前:naka    日付:2017年10月23日(月) 15時10分
ご回答ありがとうございます。

Rがデデキント整域になるというのはどのようにして分かるのでしょうか?
180-147-161-135f1.kyt1.eonet.ne.jp (180.147.161.135)
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52106.Re: 単項イデアル整域であることの証明  
名前:通りすがり    日付:2017年10月23日(月) 04時35分
まず主張についてですが,

> すべての素イデアルは極大イデアル

について,零イデアルは除くということでしょうか?

そうであれば,次の様にして示せると思います(間違っていたらすみません).詳細を書くのは面倒なので,大まかな流れのみ書きます.

 (1) I を零イデアルではない R のイデアルとする.

 (2) 仮定より R は Dedekind 整域なので I は零イデアルではない素イデアル p_1,..., p_n の積として表される.

 (3) 後は,互いに素なイデアル I_1,...,I_m に対し,I_1,...,I_m の積と共通部分が一致することを利用すればよい.

以上です.
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52088.単項イデアル整域であることの証明  
名前:naka    日付:2017年10月22日(日) 00時22分
Rはネーター整域ですべての素イデアルは極大イデアルで、しかも単項イデアルであるとします。
このときRは単項イデアル整域であることの証明が分かる方がいらっしゃったらご教授ください。
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