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51954.Re: Gδ集合とFσ集合  
名前:数学弱者    日付:2017年10月12日(木) 01時21分
ご回答ありがとうございます。

wikipediaを見て(4)のGδでない証明を確認してみます。

ありがとうございました。
(大学 3 年)
p1863163-ipbf1206sapodori.hokkaido.ocn.ne.jp (153.209.149.163)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; WOW64; Trident/7.0; rv:11.0) like Gecko

51946.Re: Gδ集合とFσ集合  
名前:ぽけっと    日付:2017年10月11日(水) 09時44分
答えは全て合っていますが解き方が一部正しくないです

あとググってみた方が掲示板で聞くより速い(かつ正確)なことも多いのでまずはググる癖をつけたほうがいいと思います.今回の問題wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/Gδ集合
を見れば全問題解決することだと思います

解き方を見ると定義は理解されているようですが,次のステップとして,定義から何が自明な例か,を考えられてないように見えます

たとえば開集合は自明にGδ集合です.同様に閉集合は自明にFσ集合.
なので(1)は "閉区間[0,1]がFσであることは自明,Gδであることは・・・だから" という書き方でいいです

ただしそれとは別に
>> [0,1]=∪[n=1,∞][0,2-1/n]となるので、[0,1]はFσ集合。
という記述は誤りです
[0,2-1/n]が[0,1-1/n]のタイポだとしてもおかしい
単に[0,1]=∪[n=1,∞][0,1]でいいです
どうしてもnを明記したければ[0,1]=∪[n=1,∞][0,1+0*n]などの不自然な書き方をしても間違いではないですが,そもそも自明の一言で済む話

(2)も答えはあってますが解き方がおかしい

ちなみに(1)-(3)を通して区間
(a,b)も(a,b]も[a,b)も[a,b]もGδかつFσだという常識(感覚)を手に入れたはずなので今後はこれらを自在に使えないと駄目です.次のステップの話ですが


(4)は一点集合(閉区間の特別な場合)がFσであること(もちろんGδでもある)ことが当たり前に思えていれば,可算集合は全て当たり前にFσだと思えるはずです

(5)もFσの補集合がGδになる(ド・モルガンより自明)ことを認識していれば当然Gδです

この問題で難しいのは「(4)がGδでないこと」および「(5)がFσでないこと」を示すことです.ちなみに片方が示せれば,先程かいた補集合が・・・という性質からもう片方も示したことになります
他の問題は(用語こそ大学で習うかもしれないけど)全て小学生レベルで,Gδでないことを示すところだけが問題らしい問題です

そしてその答えは証明まで含めでwikipediaに書いてあります
om126200113099.15.openmobile.ne.jp (126.200.113.99)
Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10.11; rv:50.0) Gecko/20100101 Firefox/50.0

51938.Gδ集合とFσ集合  
名前:数学弱者    日付:2017年10月10日(火) 23時23分
以下の問題で質問があります。

・R内の以下の集合はGδ集合か、Fσ集合か?理由をつけて答えよ
(1)[0,1]
(2)(0,1)
(3)(0,1]
(4)Q
(5)R\Q

(自分の解答)
(1)

[0,1]=∩[n=1,∞](-1/n,1+1/n)となるので、[0,1]はGδ集合。
[0,1]=∪[n=1,∞][0,2-1/n]となるので、[0,1]はFσ集合。

よって、[0,1]は両方である。

(2)

(0,1)=∩[n=1,∞](1-n,n)となるので、Gδ集合。
(0,1)=∪[n=1,∞][1/(3n),(3n-1)/(3n)]となるので、Fσ集合。

よって、(0,1)は両方である。

(3)

(0,1)=∩[n=1,∞](0,1+1/n)となるので、Gδ集合。
(0,1])=∪[n=1,∞][1/n,1]となるので、Fσ集合。

よって、(0,1]は両方となる。

というように解けたつもりですが、これで大丈夫でしょうか?、

あと、(4)は自分なりに調べてみたらFσ集合で、Gδ集合とはならず、(5)は逆にGδ集合となり、Fσ集合とはならないとわかりましたが、証明がどうすれば良いか分かりません。

ヒントだけでも良いですので、よろしくお願いします。
p1783157-ipbf1810sapodori.hokkaido.ocn.ne.jp (153.206.121.157)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; WOW64; Trident/7.0; rv:11.0) like Gecko


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