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51951.Re: [予想] 最大公約元  
名前:粥者    日付:2017年10月11日(水) 22時34分
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Rを可換環とし, 0でない元a,b∈Rに対し,a=bcとなるc∈Rがある時, aはbの倍元, bはaの約元とよぶ. また,aとbの共通の約元をaとbの公約元といい,aとbの公約元dが次を満たすとき dをaとbの最大公約元とよぶ.
"aとbの任意の公約元cはdの約元である"

または, a,b∈Rの公約元全体の集合Mを約元であるという関係b|aによる順序に関する順序集合とします.このとき,Mに最大元が存在すれば,それを最大公約元とよぶ.
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一般に, 最大公約元は可換環において定義されます.
UFDでない場合は, 最大公約元が存在しないことも起こりえます.
p632023-ipngn200109okayamahigasi.okayama.ocn.ne.jp (114.173.221.23)
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51950.Re: [予想] 最大公約元  
名前:あっしー    日付:2017年10月11日(水) 21時57分
そもそもUFDじゃない場合の最大公約元って何でしょうか?
p264091-ipngn200708fukuokachu.fukuoka.ocn.ne.jp (124.103.38.91)
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51935.[予想] 最大公約元  
名前:粥者    日付:2017年10月10日(火) 23時01分
UFDではない整域Rに対して, Rの元xが x=ab=cd のように異なる既約元a,b,c,dの積で表されているとき,
xとac(またはad またはbc またはbd) は最大公約元を持たない。

という予想を立てたのですが、これは正しいのでしょうか?

例えば , 6 ∊ ℤ[√-5] は 6 = 2・3 = (1+√-5)・(1-√-5) であり, 6と2(1+√-5)は最大公約元を持たない ということです.

(または, 6と2(1-√-5), 6と3(1+√-5), 6と3(1-√-5) は最大公約元を持たない )
(大学 1 年)
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「51935.[予想] 最大公約元」への返信


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