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51902.Re: 複素関数  
名前:数学弱者    日付:2017年10月07日(土) 23時45分
ご回答ありがとうございます。

解決しました。
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51901.Re: 複素関数  
名前:ぽけっと    日付:2017年10月07日(土) 22時12分
(1)はそれでいいです.「マクローリン展開」という言葉はそれを指すので.

(2)は留数が(教科書によって定義が異なるかもしれないけど)Laurent展開したときの-1次の係数であることを使えばすぐ出ます
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51899.複素関数  
名前:数学弱者    日付:2017年10月07日(土) 20時05分
以下の問題がよくわかりません、

関数f(x)=sin(az)/z^n,z∈C∖{0}について考える。

(1)n=1の時、z=0はfの除去可能特異点であることを示し、定義域をC全体に拡張したfのマクローリン展開を求めよ。

(2)n≥2の時、z=0はfの極であることを示し、その位数と留数Res(0,f)を求めよ。

「(1)は、z=0のまわりでローラン展開をしたら

sin(az)/z=a-(a^3z^2)/6+(a^5z^4)/120-・・・となるので、特異部はないので、z=0は除去可能特異点である。」

ここまで解答は書けましたが、ここで一つ質問で、定義域をC全体に拡張した時のfのマクローリン展開は、z=0のローラン展開の式を書けばよいのでしょうか?

そして、(2)ですが、z=0のローラン展開がa/z^(n-1)-・・・となり特異部が存在するのでz=0が極であることが示せ、位数もn-1で求まりましたが、留数はどう求めるのでしょうか?

教えてください。よろしくお願いします。
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