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51865.Re: Borel集合族の問題A  
名前:ぽけっと    日付:2017年10月04日(水) 09時15分
大丈夫です
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51864.Re: Borel集合族の問題A  
名前:数学弱者    日付:2017年10月04日(水) 00時31分
(1)を訂正したのですが、これで大丈夫でしょうか?

まず、σ[E]⊂B(R)を示す。

Eの任意の開区間について、(-∞,β)∈B(R)より、E⊂B(R)となり、σ[E]⊂σ[B(R)]⊂B(R)・・・@が成立。

次に、B(R)⊂σ[E]を示す。

@Rの任意の開区間がσ[E]に含まれることを示す。

(α,β)=(-∞,β)∩{∩[n=1,∞](-∞,α+1/n)}^c∈σ[E]となるので、Rの任意の開区間はσ[E]に属する。(^cは補集合です)

AOに含まれる任意の開集合がRの可算個の開区間の和集合で表せることを示す。

Oに含まれる開集合Uの各点xに対して、Uに含まれる開区間でxを含むものU(x)を取ることができる。そのようなU(x)の全体{U(x)}はUの開被覆になっている。

よって、リンデレーフの被覆定理により可算個のU(x_n)でUの開被覆になっているものが存在する。

各U(x)はUに含まれているので、その∪{U(x_n)}=Uとなる。各U(x_n)は開区間なのでUは可算個の開区間の和集合で表せています。

よって、開区間U(x_n)はσ[E]に含まれているので、その可算個の和集合であるUもσ[E]に含まれている。

さらに、Oに含まれる任意の開集合Uがσ[E]に含まれているので、O⊂σ[E]となり、つまり、σ[O]=B(R)⊂σ[E]となる。

よって、σ[E]=B(R)となる。
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51859.Re: Borel集合族の問題A  
名前:ぽけっと    日付:2017年10月03日(火) 06時35分
途中までしか読んでませんがそれではダメです

まず
>> U⊂Oを任意の開集合とする。
などのように,集合族だったはずのOを集合かのように扱っている点
(ここは単にU∈Oのタイポかもしれませんがその後でもなんどか同様のミスをしてます)

そして
>> xを動かして考えてみると、O⊂{∪[x∈O](x-ε,x+ε)}∈σ[E]となる。
の部分が一番の問題です
O⊂ という書き方もおかしいですが,それより
{∪[x∈O](x-ε,x+ε)}∈σ[E]
の部分がダメです

もしかして和集合でかければσ[E]の元になると思ってますか?
「高々可算個の」和集合でかければそうですが,「高々可算個の」という部分が本質的なのであってそれをきちんと言わねばなりません

今は非可算無限個の和をとっているのでσ[E]の元になるかどうかはそれだけではなんとも言えないです

本質的にLindelofの被覆定理(かそれと同等なこと)を使わないといけないので,使っていない場合は何かおかしいと思って下さい
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51854.Borel集合族の問題A  
名前:数学弱者    日付:2017年10月02日(月) 01時17分
この前の質問「Borel集合族」で、開集合のところを指摘されましたので、類題で別の解き方をしましたが、この解き方ではどうでしょうか?

まずは問題から。

Oを実数の集合Rの全ての開集合からなる族とする。さらに、Rの集合族Oを含むRの最小のσ-加法族をσ[O]とする。

ボレル集合族B(R)をB(R)=σ[O]と定義する。また、Qを有理数の集合とする。

(1)E={(-∞,β):β∈R}とおく。この時、Eから生成されるσ-加法族(Eを含む最小のσ-加法族)はBorel集合族となること、すなわち、σ[E]=B(R)であることを示せ。

(2)E'={(-∞,γ]:γ∈Q}とおく。この時、E'から生成されるσ-加法族(Eを含む最小のσ-加法族)はBorel集合族となること、すなわち、σ[E']=B(R)であることを示せ。


解答です。

(1)まず、σ[E]⊂B(R)を示す。

Eの任意の開区間について、(-∞,β)∈B(R)より、E⊂B(R)となり、σ[E]⊂σ[B(R)]⊂B(R)・・・@が成立。

次に、B(R)⊂σ[E]を示す。

U⊂Oを任意の開集合とする。この時、Oの任意の点xは内点より、xのある開近傍(x-ε,x+ε)はOに含まれている。

ここで、(x-ε,x+ε)=(-∞,x+ε)∩{∩[n=1,∞](-∞,x-ε+1/n)}^c∈σ[E]となる。(^cは補集合です。)

全てのOの内点xの開近傍は、(x-ε,x+ε)∈σ[E]となるので、xを動かして考えてみると、O⊂{∪[x∈O](x-ε,x+ε)}∈σ[E]となる。

よって、O⊂σ[E]となるので、σ[O]=B(R)⊂σ[σ[E]]=σ[E]・・・Aとなる。

@、Aより、σ[E]=B(R)となる。

(2)σ[E]=σ[E']を示す。

E'={(-∞,γ]:γ∈Q}より、任意の実数は有理数列の極限としてあらわされるので、単調増加でβに収束する数列をγ_[n]とすると、

(-∞,β)=∪[n=1,∞](-∞,γ_[n]]∈σ[E']となる。よって、E⊂σ[E']より、σ[E]⊂σ[σ[E']]=σ[E']・・・B

逆を示す。E'に含まれる集合について、(-∞,γ]=∩[n=1,∞](-∞,γ+1/n)∈σ[E]より、E'⊂σ[E]となり、σ[E']⊂σ[σ[E]]=σ[E]・・・C

B、Cより、σ[E]=σ[E']となり、σ[E]=B(R)より、σ[E']=B(R)となる。

長文で申し訳ございません。よろしくお願いします。
(大学 3 年)
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