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51852.Re: Borel集合族の問題  
名前:数学弱者    日付:2017年10月01日(日) 21時01分
ぽけっとさん。

ご回答ありがとうございます。

リンデレフの被覆定理を確認してみます。
(大学 3 年)
p1991209-ipbf206sapodori.hokkaido.ocn.ne.jp (221.187.87.209)
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51851.Re: Borel集合族の問題  
名前:ぽけっと    日付:2017年10月01日(日) 13時29分
ほぼそれで問題ないです

ひとつ突っ込まれる可能性があるとすれば
>> (α,β)∈σ[E]となり、O⊂σ[E]となる
の部分です.
開集合は全て(α,β)の形でかけるというわけではないので,
任意の開区間がσ[E]に含まれる⇒任意の開集合がσ[E]に含まれる
は別に示す必要が(授業や教科書のスタイルにもよりますが)ある可能性があります


[開集合が開区間の高々可算和でかけることは,(より高次の一般の場合も含めて)Lindelofの被覆定理(リンデレフの被覆定理)で保証されます]
H24-22.eduroam.kuins.kyoto-u.ac.jp (192.50.24.22)
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51847.Borel集合族の問題  
名前:数学弱者    日付:2017年09月30日(土) 23時46分
以下の問題の解答がまずいところがないか確認してほしいです。

まずは問題から。

Oを実数の集合Rの全ての開集合からなる族とする。さらに、Rの集合族Oを含むRの最小のσ-加法族をσ[O]とする。

ボレル集合族B(R)をB(R)=σ[O]と定義する。

E={[α,+∞):α∈R}とおく。この時Eから生成されるσ-加法族(Eを含む最小のσ-加法族)はBorel集合族となること、すなわち、σ[E]=B(R)であることを示せ。

解答です。

[α,+∞)=[α,+∞)=(-∞,∞)/(-∞,α)∈B(R)となるので、E⊂B(R)よりσ[E]⊂σ[B(R)]=B(R)となる。

次に逆を示す。(α,β)=[β,+∞)^c∩{[α+1/1,+∞)∪[a+1/2,+∞)∪[a+1/3,+∞)∪・・・}となるので、

任意のR上の開集合(α,β)において、(α,β)∈σ[E]となり、O⊂σ[E]となるので、σ[O]=B(R)⊂σ[E]となる。・・・A

よって、@、Aより、σ[E]=B(R)となる。

※[β,+∞)^cは[β,+∞)のR上の補集合で、{[α+1/1,+∞)∪[a+1/2,+∞)∪[a+1/3,+∞)∪・・・}は[α+1/n,+∞)の無限和集合のことです。
掲示板の数式の扱いがまだ慣れていなくてすみません。
(大学 3 年)
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