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53391.Re: 線形写像が正値ならその表現行列も正値である事を示すには?  
名前:さる    日付:2017年12月12日(火) 20時48分
まず、「数学の用語の定義は、本によって変わることがあります。」
結局は同じ意味になる用語を、別な言いかえで定義するときもあれば、意味も変わる場合もあります。
なので、用語の意味については、質問者が採用している定義(参考にしている本の定義でも良いです)を提示してもらわないと、回答は困難です。

さて、
>以前に何かの書物で,線形写像の正値の定義として
>「線形写像fは正値⇔表現行列[f]_vが正値」
>を見かけたのが今回の質問の発端でした。
「行列が正値である」ということが定義されているときに、線形写像の正値性を上記で定義するのは自然ですね。
well-definednessは確かめる必要がある、つまり、
同じ線形写像について、基底を変えて表現行列が変わっても正値性は変わらないことを確かめる必要があるでしょうが。

ここで、線形写像の正値性は表現行列の正値性で定義されたので、その同値性については、示すべきことは全くありません。
線形代数というのは、基底の取り方で変わらない性質を扱う技術であるので、線形写像の性質とその表現行列の性質が同じになるように言葉を定義するのが良いでしょう。

で、通常、行列の正値性は対称行列(複素だとエルミート行列)についてしか定義しません。なので、複素行列Aが正値ということの定義を
(1) Aはエルミート行列。
(2) Aの固有値はすべて正。
の(1), (2)両方を満たす。
とするか、
(1) Aはエルミート行列。
(2') x^T A x > 0 (x≠0)。
の(1), (2')両方を満たす。

とします。そして、線形写像f(fは複素ベクトル空間上の線形変換)が正値というのは、
(1) fはエルミート変換。
(2) fの固有値はすべて正。
の(1), (2)両方を満たす。
とするか、
(1) fはエルミート変換。
(2') <f(x),x> >0 (x≠0)。
の(1), (2')両方を満たす。
のどちらかで定義します。

以前コメントしたように、(1),(2)で定義しても(1),(2')で定義しても同じ意味になることが証明できるので、好きな方を定義として採用して誤解は生まれません。

で、エルミートでない行列や線形変換に対して正値性を定義することはあるかもしれませんが、少なくとも実正方行列では(2)と(2')は同値でないので、自分が何を定義として採用し、何を示そうとするのか、きちんと設定しないと、誰も回答できないと思います。
補足として、ぽんすれ氏が指摘したように、(2')⇒(2)は示せます。

最後に、
>記事51846にて,
>確かにR([f]_v)R^-1は正値エルミート行列になる事は納得済みです。
とありますが、そこでは、正値エルミート行列になることが示せているようには見えません。

とにかく、用語やその定義を混乱して使っているように思えますので、落ち着いて整理してみて下さい。
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53390.Re: 線形写像が正値ならその表現行列も正値である事を示すには?  
名前:ナギ    日付:2017年12月12日(火) 06時44分
再度失礼致します。

記事51846にて,
確かにR([f]_v)R^-1は正値エルミート行列になる事は納得済みです。
Rがユニタリ行列なら[f]_vも正値エルミート行列になる事は直ちにいえますが
今,Rはユニタリとは限らないただの正則行列なので,
どうあがいても[f]_vは全固有値が正の対角化可能行列とまでしか言えませんよね。

以前に何かの書物で,線形写像の正値の定義として
「線形写像fは正値⇔表現行列[f]_vが正値」
を見かけたのが今回の質問の発端でした。

「線形写像fは正値⇔表現行列[f]_vが正値」
は厳密には
「線形写像fは正値⇔表現行列[f]_vが正値エルミート行列」
ではなく
「線形写像fは正値⇔表現行列[f]_vが正値対角化可能行列」
という意味なのでしょうか??

線形写像の正値性とその表現行列の正値性にはどんな関係あるのでしょうか?
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53350.Re: 線形写像が正値ならその表現行列も正値である事を示すには?  
名前:ナギ    日付:2017年12月09日(土) 11時08分
皆様。ご回答誠に有難うございます。

> 「行列が正値である」ことの定義をどのようにしているのかがわからないので議論が混乱しているのだと思います。
:
> は同値なので、(1), (2')を正値の定義に採用することもあります。

これでだいぶ晴れてきました。

「[f]_vが正値⇔[f]_vは正の固有値を持ちエルミート行列」
と定義されてるのですね。


纏めますと
0<<f(x),x>=<R[f]_vR^{-1}w,w> (但しw:=(c1',c2',…cn')≠0)
まで辿り着き,53309記事の(2')より
R[f]_vR^{-1}は正値エルミート行列とわかり,∃Wはユニタリ行列でR[f]_vR^{-1}=W^*diag(λ_1,λ_2,…,λ_n)W (λ_1,λ_2,…,λ_n∈R^+)と書けるので
[f]_v=(WR)^{-1}diag(λ_1,λ_2,…,λ_n)(WR)^{-1}
なり[f]_vは対角化した時に対角成分が正値となる対角可能行列まで判明しました(∵WRはユニタリ行列とはかぎらない)。

どうやって[f]_vは正値エルミート行列であることを導き出せるのでしょうか?


> 1. [f]_vが正値であることを証明するために、その全ての固有値が正であることを示す.

これは |[f]_v-λI|=|R[f]_vR^{-1}-λI|=0なので固有値は一致するので言えました。

> (条件式のxの部分をfの固有ベクトルと思うと…)

{x_1,x_2,…,x_n}を固有ベクトルからなる基底だとすると(λ_kの固有ベクトルはx_k,k=1,2,…,n),
0<<f(x),x>=<f(Σ_{k=1..n}c_kx_k),Σ_{k=1..n}c_kx_k>=Σ_{k,l=1..n}c_k\bar{c_l}<f(x_k),x_l>
=Σ_{k,l=1..n}c_k\bar{c_l}<λ_k(x_k),x_l>

まで来てここから行きづまってしまいました。

どのようにするのでしょうか?
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53311.Re: 線形写像が正値ならその表現行列も正値である事を示すには?  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年12月06日(水) 20時34分
その意味で行列の正値性を考えているならば,証明を与えるために次の論点

1. [f]_vが正値であることを証明するために、その全ての固有値が正であることを示す.
2. そのために、<f(x),x>>0 for 0≠∀x∈Vを利用する.
(条件式のxの部分をfの固有ベクトルと思うと…)

を順に考えるとよいかもしれません.
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53310.Re: 線形写像が正値ならその表現行列も正値である事を示すには?  
名前:ナギ    日付:2017年12月06日(水) 13時45分
ご回答誠に有難うございます。お蔭様でとても参考になりました。

正値⇔固有値がすべて正値

と定義しました。

これならいかがでしょうか?
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53309.Re: 線形写像が正値ならその表現行列も正値である事を示すには?  
名前:さる    日付:2017年12月06日(水) 13時19分
「行列が正値である」ことの定義をどのようにしているのかがわからないので議論が混乱しているのだと思います。
都合により、実の場合に限って書いてみます。
(複素の時にどういう状況になっているのか覚えてないので)

実行列Aが正値というのは、
(1) Aは対称行列。
(2) Aの固有値はすべて正。
のときに、Aを正値行列と呼びます。

そして、(1)を仮定すると、(2)と次の
(2') x^T A x > 0 (x≠0)。
(xはベクトルで^Tは転置)
は同値なので、(1), (2')を正値の定義に採用することもあります。

で、(2')だけを満たすときに、Aを正値と呼ぶことも、一応できます。
行列が対称であることを仮定しないと、
x^T A x=x^T B x が成立するようなA≠Bが存在するので、Aが正値というよりは、x^T A x で定まる二次形式が正値という意味ととらえた方が良いと思いますが。

また、(1)を仮定しないと(2')と(2)は同値ではありません。例えば、行列
|1 5|
|0 1|
は固有値は1なので、正ですが、二次形式は正値になっていません。

始めの質問に答えるには、そもそも、「行列が正値」というのをどのような定義で用いているのかを明確にする必要があると思います。
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53307.Re: 線形写像が正値ならその表現行列も正値である事を示すには?  
名前:ナギ    日付:2017年12月06日(水) 03時16分
ご回答誠に有難うございます。
ご紹介頂いたサイトも拝見しております。

> |[f]_v-λI|=|R[f]_vR^{-1}-λI|=0なので固有値は一致する。

ではどうして駄目なのでしょうか?
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53278.Re: 線形写像が正値ならその表現行列も正値である事を示すには?  
名前:カッティ    日付:2017年12月05日(火) 10時10分
[f]_vが非対称行列のとき、[f]_vの固有値は複素数で
任意の数ベクトルxに対して、
x^T・[f]_v・x>0
であるとき正定値というそうです。

以下 https://soudan1.biglobe.ne.jp/qa6799209.html の説明
非対称行列[f]_vが正定値であるとき
x^T・[f]_v・x = x^T・[f]_v^T・xであり、(転置しただけ)
x^T・[f]_v・x>0 ⇔ (x^T・[f]_v・x+x^T・[f]_v^T・x)/2>0
⇔対称行列 ([f]_v+T[f]_v^T)/2 が正定値である。

ちょっと計算してみましたが、私の計算力では対称行列(A+A^T/2)が正定値の時、
Aを相似変換した後のS^-1・A・Sに対して
S^-1・A・S + S^T・A^T・S^(-T)/2
が正定値かどうか、わかりませんでした。
(馬鹿猫/回答者)
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Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; WOW64; Trident/7.0; rv:11.0) like Gecko

53273.Re: 線形写像が正値ならその表現行列も正値である事を示すには?  
名前:ナギ    日付:2017年12月05日(火) 06時11分
|[f]_v-λI|=|R[f]_vR^{-1}-λI|=0なので固有値は等しくなる。
でいかがでしょうか?
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53263.Re: 線形写像が正値ならその表現行列も正値である事を示すには?  
名前:カッティ    日付:2017年12月04日(月) 20時25分
[f]_vが非対称行列のとき、
R([f]_v)R^-1が正定値なので([f]_v)も正定値
であることが言えるかどうかわからないです。
(馬鹿猫/回答者)
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53252.Re: 線形写像が正値ならその表現行列も正値である事を示すには?  
名前:ナギ    日付:2017年12月04日(月) 11時15分
ご回答誠に有難うございます。

> ([f]_v)の正固有値の数は、正則行列Rによる相似変換

これは何と言う定理でしょうか?

今,[f]_vは対称行列とはかぎりませんよね。

この定理が載ってるサイトがあれば是非お教え下さい。
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53241.Re: 線形写像が正値ならその表現行列も正値である事を示すには?  
名前:カッティ    日付:2017年12月03日(日) 16時04分
([f]_v)の正固有値の数は、正則行列Rによる相似変換で
変わらないと思いました。
(馬鹿猫/回答者)
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53240.Re: 線形写像が正値ならその表現行列も正値である事を示すには?  
名前:ナギ    日付:2017年12月03日(日) 13時31分
カッティ様、遅くなりまして大変申し訳ありません。
大変参考になります。

最後の箇所だけ質問があります。

> R([f]_v)R^-1が正定値なので([f]_v)も正定値。

ここの部分はどうして言えるのでしょうか?
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51846.Re: 線形写像が正値ならその表現行列も正値である事を示すには?  
名前:カッティ    日付:2017年09月30日(土) 18時01分
議論があやしいですが、以下で大丈夫でしょうか。

x=[v_1,v_2,…v_n][c1,c2,…cn]^Tと置く
f(x)=[v_1,v_2,…v_n][f]_v[c1,c2,…cn]^T

[v_1,v_2,…v_n]=[v_1',v_2',…v_n']RとQR展開できるので、
f(x)=[v_1',v_2',…v_n']R([f]_v)[c1,c2,…cn]^T

[c1',c2',…cn']^T=R[c1,c2,…cn]^Tと置くと、
f(x)=[v_1,v_2,…v_n] ([f]_v) [c1,c2,…cn]^T
=[v_1',v_2',…v_n'] R([f]_v)R^-1 [c1',c2',…cn']^T

<f(x),x>=<[v_1',v_2',…v_n'] R([f]_v)R^-1 [c1',c2',…cn']^T, [v_1',v_2',…v_n'] RR^-1 [c1',c2',…cn']^T>
[d1',d2',…dn']^T=R([f]_v)R^-1 [c1',c2',…cn']^Tと置けば、
<f(x),x>=Σ[i,j]<v_i,v_j>ci'・dj'
=[c1',c2',…cn']R([f]_v)R^-1 [c1',c2',…cn']^T>0
R([f]_v)R^-1が正定値なので([f]_v)も正定値。
(馬鹿猫/回答者)
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51845.線形写像が正値ならその表現行列も正値である事を示すには?  
名前:ナギ    日付:2017年09月30日(土) 09時44分
Vを複素数体C上のn次元内積空間とし,f:V→Vを線形写像とする。
そして,{v_1,v_2,…,v_n}をVの基底とし,[f]_vをv:=(v_1,v_2,…,v_n)に関する表現行列とする。

この時,
<f(x),x>>0 for 0≠∀x∈V なら [f]_vが正値となる事はどうやって示すのでしょうか?
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