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51833.Re: 四色問題について。  
名前:果汁30%    日付:2017年09月28日(木) 21時31分
黄桃様

ご返信有難うございました。
まず本のご紹介をいただき大変助かります。週末に本探しに行ってみます。
それを読んでもう少し基本的な理解をしてから、先日の投稿でご返信いただいた内容をもう一度確認してみます。

また、ご指摘についても有難うございました。
前半部分についてはまだしっかりとまとめられないですが、図形Aだけしか考えずにただ条件を満たすように
塗ろうとすると、他の図形がうまく塗れなくなってしまうことがある、と理解しました。
後半部分についても一旦本を確認し、「お互いに隣接する4か国はないにもかかわらず4色必要な地図」とは
どういったものかというところから学んでみようと思います。


とても勉強になりました。有難うございました。
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51829.Re: 四色問題について。  
名前:黄桃    日付:2017年09月28日(木) 07時14分
とりあえず、講談社ブルーバックス「四色問題 どう解かれ何をもたらしたのか」(一松信著)をお読みください。
図書館に行かれるのでしたら旧版の「四色問題」でもかまいません。
第1章と第2章だけで十分です。

#私は旧版の「四色問題」しか読んだことがありませんが、講談社のサイトで見る限り
#第5章まではほとんど変わってないようなので。

前半部分について
「それぞれの図形(ここではA)を固定するごとに、Aの周り(だけ)を3色で塗ることができる」からといって
「全体を3色で塗ることができる」とは限りません。
Aの周りを3色で塗る方法, Bの周りを3色で塗る方法, Cの周りを(以下同様)のすべてに整合性がある、といわなければなりません。

#4色定理というのは「上手に塗れば4色で塗れる」のであって、
#どんなへたくそでも4色あれば塗れるわけではありません。
#したがって、国の数に関する数学的帰納法を使うのであれば、Aを除いた場合に
#4色で塗れる場合がある、というのが前提であり(したがってAの周囲に既に4色
#使われているかもしれない)、Aの周囲が3色で塗れる場合があることとは
#直接関係ありません。

後半部分について(上記書籍に同じ記述があります)
「平面上にお互いに隣接する5か国はない」(完全5点グラフは平面グラフではない)のは正しいですが、
だからといって5色必要な地図ができない、とは結論できません。
実際、ご自分で示したように、5角形の中心にAがある場合は全体で4色必要ですが、この図形ではお互いに隣接する4か国はありません。
つまり「お互いに隣接する4か国はないにもかかわらず4色必要な地図がある」のですから、なぜこの場合が起こるのか説明が必要です。

#「四色定理」の証明について、これ以上おつきあいするつもりはありません。
#100年近く未解決だった難問が初等的に簡単に解ける、という可能性はまずありません。
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51828.四色問題について。  
名前:果汁30%    日付:2017年09月28日(木) 00時48分
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宜しくお願い致します。
今更ですが容疑者Xの献身を見て四色定理に興味を持ち、自分なりに理解を深めようとしています。
無謀は承知の上ですがこれも勉強ということで、以下の内容でおかしな点をお教えいただけますでしょうか。

※はじめに投稿済みの「字数n個の文字の並びに必要な文字の種類について」をご覧ください。


先日の投稿では文字列としていましたが、これを「図形Aを取り囲むように隣接する領域の並び」を
展開したものとして考えます。(図をご参照ください。)

そして、基本ルールを以下のように読み替えます。

【基本ルール】

・使用する色は何色でもよい。
・同じ色を何回でも使用してよい。
・k番目(k=1,2,3,・・・,n)とk+1番目(ただしk=nのときは1番目)は異なる色を使用する。
→図形Aに隣接する領域同士が隣り合う領域と同じ色になってはいけない、という意味です。
 ※そして、図形Aと隣接しない領域との関係はここでは考慮しません。

さらに、追加ルールを以下のように読み替えます。

【追加ルール】
1)a番目の領域とb番目の領域を同じ色にする。(a+1<b)
→a番目の領域とb番目の領域は1つの図形の一部、という意味です。
2)c番目の文字とd番目の文字を異なる文字にする。(c+1<d)
→c番目の領域とd番目の領域が隣接している、という意味です。

【追加ルール使用条件】
・ある追加ルールが設定されたとき、そのルールが設定された位置の範囲内の1つと範囲外の
 1つをセットとして他の追加ルールを設定することはできない。
→図を見るとわかるとおり、追加ルールが設定されると、そのルールで囲まれた領域は
ルールの範囲外の領域と1つの図形にしたり隣接することが出来ない、という意味です。

・ルールの矛盾が生じるような追加ルールは設定できない。
→これはそのままです。


このとき、先日の投稿にしたがえば、図形Aに隣接する領域の数がいくつでも、また、
追加ルールがいくつ設定されていても、図形Aを取り囲む領域を塗るのに必要な色は
多くても3色あればよいことになります。
そのため、色が4色利用可能であれば、図形Aを塗りつぶすのに必要な色は最低でも
1色は残ります。
上記により、図形Aではなく平面上の任意の図形を選択したとしても、その図形に
隣接する数や追加ルールがいくつあっても上記が成り立つ(選択した図形を囲む
隣接領域は3色あれば必ず塗りつぶせる、選択した図形を塗りつぶす色は最低でも
1色は残る)ため、四色定理は成立する、と考えました。

それと、5色必要なケースについても考えてみます。
5色必要とは、図形Aを取り囲む隣接領域のうち4つを対象として、基本ルールや
追加ルールを組み合わせて互いに全てのパターンで「異なる色にする」ように
構成する必要があります。
4つの領域をWa,Wb,Wc,Wd(a<b<c<d)とすると、条件は以下のとおりです。
Wa≠Wb
Wa≠Wc
Wa≠Wd
Wb≠Wc
Wb≠Wd
Wc≠Wd
しかし、この全てを満たそうとすると追加ルール使用条件に必ずひっかかることに
なります。そのため、5色必要なケースを作ることが出来ません。(6色以上も同様の
理由で作ることが出来ません。)

【補足】
図形Aでは、例えば図形Aに三角形の角が接するようなパターン(Wk≠Wk+1が成立しない
箇所を含むパターン)が記載されていませんが、これについては後日記載致します。
まずは上記の範囲でおかしな点をご指摘いただけますでしょうか。
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