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DS 数学 BBS・2
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51800.Re: ベクトル解析 単位接線ベクトルの公式 p'(s)=t について  
名前:トンボ    日付:2017年09月23日(土) 08時34分
ast様

ご返事ありがとうございます&理解できました!

式変形において、「dπ(s)= dp(t) つまり dp(t)/dπ=1」は常に成り立つのかな?というところでつまづいていたのですが、
よくよく考えれば自明でした。(というか dπ(s)= dp(t) となるようにπを定義しているのでした。)

筋道を照らしていただき、ありがとうございました。

(ちなみに、ですが
写真の続きは、「t,s対して同じ記号pを使うのは混乱するけど、慣習でそう書きます。では早速問題を解いてみよう」というような感じになっております。)
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51795.Re: ベクトル解析 単位接線ベクトルの公式 p'(s)=t について  
名前:ast    日付:2017年09月22日(金) 21時46分
p, p(s), p(t) で記号の濫用が行われているのでわかりにくいことは確かで, 引用された部分の説明の仕方では注意として不十分なのだろうと感じます (例えば s による微分も t による微分も同じ ' で書かれていますが, こういうのは個人的にはものすごく嫌です). ただ, 画像を見る限りだと, その引用部分以降でそのことについての説明がされているようにも推測されるので, どうなっているかお知らせください. (もし説明されてあればそこまで確認せずにその本を責めるのは酷ということになる)

まあそれはともかく, 峻別のために p(s) の代わりに π(s) と書くことにすると, おそらく π(s) = π(s(t)) := p(t) という関係になっているはず.
# もちろん s=s(t) := ∫_[0,t]||dp(t)/dt||dt.
# (これも t に対して厳密には記号の濫用をしてるけども)

そして, 示すべき式は dπ/ds = t です. 画像通りに進めれば,
  dπ/ds
  = dπ/dt*dt/ds = dp(t)/dt*dt/ds (これがご質問の式変形の意味でした)
  = p'(t)/||p(t)|| = t
ということになります.
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51792.ベクトル解析 単位接線ベクトルの公式 p'(s)=t について  
名前:トンボ    日付:2017年09月22日(金) 16時50分
Original Size: 1024 x 532, 127KB

ベクトル解析での、単位接線ベクトルの公式について、最後の式変形がなぜ可能なのかがわかりません。
dp(s)/dp(t)=1 が必要だと思うのですが、その証明が載っておらず、気になって先にすすめません。
どなたかお知恵をお借りできませんでしょうか。

【記号説明】
座標空間において、
・曲線C:ベクトル値関数p(t)で表される。
・C上の点Pにおける単位接線ベクトルをt↑とおく。
・tが[0,t]で動いたときの曲線の長さをsとする。
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