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51738.Re: 対称式の基本定理の証明  
名前:アフター5    日付:2017年09月12日(火) 16時41分
Tさん

理解できました。丁寧な解答ありがとうございました!
(数学愛好者/質問者)
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51735.Re: 対称式の基本定理の証明  
名前:T    日付:2017年09月12日(火) 00時24分
http://plouffe.fr/simon/math/Artin%20E.%20Galois%20Theory%20(2ed.,%201944)(200dpi)(T)(86s).pdf
のp40にある議論が同一のものかと思われます。
これを参考に解答します。

正確さのため、添え字に[]をつけることにします。

F_[1](t)=f(t)/(t-x_[2])…(t-x_[n])
ですから、右辺の分母を展開して (分子)÷(分母) の筆算を行うことにより、
F_[1](t) の係数は x_[2],…,x_[n] と a_[1],…,a_[n] の多項式で表されることが分かります。
(この時点で結論はすぐに導かれますが、記述に沿って議論を進めます)
F_[1](t) の最高次係数は 1 なので、
 F_[1](t)=t-(x_[2],…,x_[n] と a_[1],…,a_[n] の多項式)
という形であることが分かります。このことと F_[1](x_[1])=0 から、
 x_[1]-(x_[2],…,x_[n] と a_[1],…,a_[n] の多項式)=0
すなわち
 x_[1]=(x_[2],…,x_[n] と a_[1],…,a_[n] の多項式)
となります。

わざわざ回りくどい考え方をしているのは、その後に同様の議論があるからでしょうね。
(回答者)
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51718.対称式の基本定理の証明  
名前:アフター5    日付:2017年09月08日(金) 14時22分
アルティンのガロア理論入門文庫版p71の対称式の基本定理の証明でわからない部分があるので教えて下さい。

x_1,x_2、…,x_nをn個の変数とし,f(t)=(tーx_1)(tーx_2)…(tーx_n)=t^n+a_1t^nー1…+a_nとします。つまり各a_kは基本対称式です。

このときF_k(t)を次のように定義します。
F_k(t)=(tーx_1)(tーx_2)…(tーx_k)=F_k+1(t)/(tーx_k+1)
F_n(t)=f(t)

F_1(x_1)=0とF_1(t)の次数が1であることを根拠に、x_1がa_kとx_2…x_nの多項式で表せると言っているのですがわかりません。

根拠をどう使えばx_1を他の変数と基本対称式の多項式で表せるのかが理解できないのです。

ご指導よろしくお願い致します。
(数学愛好者/質問者)
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