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51695.Re: 可測な関数(再掲)  
名前:ppp    日付:2017年08月27日(日) 11時45分
黄桃 さん 丁寧な説明ありがとうございます。
今後ともよろしくお願いします。
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51693.Re: 可測な関数(再掲)  
名前:黄桃    日付:2017年08月26日(土) 09時38分
その本を持ってない人がほとんどなのに、ごく一部だけ抜き出されて質問されても的確な答はむつかしいでしょう。
その本の該当部分の前後を眺めてきましたが、astさんの述べていることがすべてです。

そのセクションは「可測関数の加減乗除」という名前で、可測関数に対するいくつかの演算結果もまた可測関数であることを証明しています。その証明をする際の注意です。

例えば、f,gがAで可測とするとf+gもAで可測ということを示すには f+gが有限の値を取る場合だけ考えればよい、ということです。

#f+g=±∞や不定になるのは f=±∞、g=±∞ の場合だけです。

他の場合も、いちいちどんな場合に定義でき、どんな場合に∞になるか記さないが、そういう例外的な場合は、f,gがAで可測であることより可測集合となるので、以下の証明ではそうでない場合だけ示す、ということです。

#この本では未定義になる場合に定義域を変えるのか、f-gが定義できないと考えるのか
#書いてありませんが、注意にある通り、必要なら定義域を小さくしても問題ない
#ということでしょう。
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51690.Re: 可測な関数(再掲)  
名前:ppp    日付:2017年08月23日(水) 05時50分
ast さん ありがとうございます。
>そもそもの話が A(f(x)=+∞) は可測集合と確定しているのだから
自分の最初の疑問点はAでfが可測であるかどうか不明な段階で A(f(x)=+∞) が可測集合
になるのか?ということで、これが明らかに可測集合であることがいえれば原文が正しいことが
了解されるのですが、
>そもそもの話が A(f(x)=+∞) は可測集合と確定しているのだから
この部分を教えていただけるとありがたいです。よろしくお願いします。
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51689.Re: 可測な関数(再掲)  
名前:ast    日付:2017年08月23日(水) 00時40分
そもそもの話が A(f(x)=+∞) は可測集合と確定しているのだから, A(f(x)>c) の可測性と A'(f(x)>c) の可測性は同値だ, という話ではないですか? そうすると,
> 原文の2行目のAとA'が逆に
したところで何も問題はない代わりに何も変わらないし何もうれしくないのではないかと思います.
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51687.可測な関数(再掲)  
名前:ppp    日付:2017年08月22日(火) 22時05分
吉田洋一著ルベグ積分入門(ちくま学芸文庫)p127注意1.がイマイチ理解できません。
原文は以下の通りです。
A'=A-〔A(f(x)=+∞)∪A(f(x)=-∞)〕とおくと、
A(f(x)>c)=A'(f(x)>c)∪A(f(x)=+∞)だから、A'でfが可測ならAでも可測である。
よって、最初からfがAで有限であるとして証明すれば十分である。(以上)
記号の補足
AはR上の点集合 fはAを定義域とする関数
集合A(f(x)>c)={x|x∈A,f(x)>c}を意味します。
自分の考え 原文の2行目のAとA'が逆になっているのではないか。すなわち
A'(f(x)>c)=A(f(x)>c)-A(f(x)=+∞)だから、Aでfが可測ならA'でも可測である。
ではないかと思うのですがご教示をお願いします。
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「51687.可測な関数(再掲)」への返信


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