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51670.Re: 射影行列PでImagePとImageE-Pは直交しますでしょうか。  
名前:カッティ    日付:2017年08月14日(月) 18時40分
Pが直交射影でなければ、ImagePとImageE-Pは直交しないのですね。
さる氏様、回答ありがとうございます。

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/射影作用素
Px と y − Py とが任意の x, y に関して互いに直交するのは、
P = PTP(これは P = PT かつ P = P2 に同値)のときであり、かつそのときに限る[3]。
(馬鹿猫/質問者)
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51668.Re: 射影行列PでImagePとImageE-Pは直交しますでしょうか。  
名前:さる    日付:2017年08月14日(月) 12時36分
いいえ。
直交しないこともあります。

例えば、
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/射影作用素
の斜交斜影などを参照してください。
ae014217.dynamic.ppp.asahi-net.or.jp (14.3.14.217)
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51663.射影行列PでImagePとImageE-Pは直交しますでしょうか。  
名前:カッティ    日付:2017年08月13日(日) 18時41分
【質問】
Pが射影行列のときImagePとImageE-Pは直交関係にあるのでしょうか。
ご教授のほどよろしくお願いいたします。


Pが射影行列(P^2=P)のとき
R^n=ImageP∔Image(E-P)

W=ImagePを与えられたとき、
Wの正規直交基底を[a1,〜,ar]に選ぶことで
直交射影を実現できる。
(質問が偽だと直交射影にする旨味が少なくなる気がします。)

n×rの行列A=[a1,...,ar]とするP=AA^tが直交射影となる。
Px=(x,a1)a1+(x,a2)a2+〜+(x,ar)ar=AA^tx

このとき、直交射影は対称行列で、
(Px,(E-P)y)=x^tP^t(E-P)y=x^tP(E-P)y=0
Image(E-P)はImagePの直交補空間となる。
(馬鹿猫/質問者)
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「51663.射影行列PでImagePとImageE-Pは直交しますでしょうか。」への返信


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