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51662.Re: πr^2  
名前:二次関数    日付:2017年08月13日(日) 18時40分
と言ってもあれは滑らかな曲線の線積分が折れ線の線積分で近似できるってだけだから、折れ線の形が円弧に幾らでも近付く事を示す今回の議論とは少し違うのかな…??

でもあの線積分の議論は三角関数も使ってなかったし上手く使えたりもするのかなー…??
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51661.Re: πr^2  
名前:二次関数    日付:2017年08月13日(日) 18時22分
複素解析で、コーシーの積分定理を示す前に任意の滑らかな曲線は多角形を用いて幾らでも近似できるってのを示した筈です。
だからその滑らかな曲線を円弧に置き換えて似たような証明するのかなーと…
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51658.Re: πr^2  
名前:さる    日付:2017年08月12日(土) 00時02分
厳密さにこだわるなら、そもそも、面積とは何か?長さとは何か?
を明確にしないと意味がないと思いますね。
あとは、三角関数をどのように定義するか?とか。

何を定義とし、どのような議論で証明していくかが重要なわけで、単に
>あと、極座標使って2S=∫r^2 dθ 使うのは循環論法になっちゃうのでしょうか?
と問われても、答えようがありません。

また、単に
>複素解析で出てくる議論と同じやり方でいいのですか?
と問われても、複素解析で出てくる議論って何ですか?
としか答えようがありません。複素解析の本だって多くあるし、議論の仕方はいろいろなので。

・面積はリーマン積分で定義する。
・三角関数はTaylor級数で定義する。
・円が三角関数を用いてパラメータ表示できることなども証明する。
といったようにやれば(積分や三角関数の性質などももちろん証明する)、極座標を使って円の面積を求めるのは、循環論法にならないかと。
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51657.πr^2  
名前:ぞるたんちゃん    日付:2017年08月11日(金) 11時02分
半径1の面積の証明に関して調べて見たんですが
多角形近似で証明するものがあって、これは複素解析で出てくる議論と同じやり方でいいのですか?

あと、極座標使って2S=∫r^2 dθ 使うのは循環論法になっちゃうのでしょうか?

https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/58/58-3.pdf
https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/58/58-3.pdf
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