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51654.Re: 単位円(開集合)の有限被覆性について  
名前:初学者    日付:2017年08月10日(木) 00時37分
tachikawaさん,ぽけっとさん
理解しました.
ありがとうございます!
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51653.Re: 単位円(開集合)の有限被覆性について  
名前:ぽけっと    日付:2017年08月10日(木) 00時00分
有限被覆性という言い方はあまり聞きませんが,「任意の開被覆が有限部分被覆を持つ」という性質のことですね?
これは普通コンパクト性と呼ばれます

まさに初学者が陥りがちな箇所だと思いますが,
「任意の開被覆が有限部分被覆を持つ」と
「適当に選んで来た開被覆が有限部分被覆を持つ」は意味が違います

Onうんぬんの議論は後者の話をしているに過ぎず,それが言えたところでコンパクト性とは関係ありません.

繰り返せば,たまたまひとつ選んできた可算開被覆{O1,O2,...}が有限部分被覆を持とうが,それはBのコンパクト性とは無関係な話です
開被覆{O1,O2,...}も,それ以外の他のどんな開被覆も,必ず有限部分被覆を持つことが示せてはじめてBがコンパクトであることが言えます

逆にひとつでも有限部分被覆を持たない開被覆が見つかればBはコンパクトでないことが証明されることになります

もう一度定義が言っていることをじっくり考えてみて下さい
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51652.Re: 単位円(開集合)の有限被覆性について  
名前:tachikawa    日付:2017年08月09日(水) 23時53分
>「部分集合」の開集合で被覆するということなので,
O1はBの開集合ではないので,Bの有限被覆性は成り立たないという
ことでしょうか…
いいえ、O_1 は B の開集合です。

B が有限被覆性をもつとは、任意のBの開被覆が有限部分被覆をもつことをいいます。たとえば U_n={(x,y) | x^2+y^2 < 1-1/n} として {U_1,U_2,…} は B の開被覆ですが有限部分被覆をもちません。
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51651.Re: 単位円(開集合)の有限被覆性について  
名前:初学者    日付:2017年08月09日(水) 23時13分
「部分集合」の開集合で被覆するということなので,
O1はBの開集合ではないので,Bの有限被覆性は成り立たないという
ことでしょうか...
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51650.Re: 単位円(開集合)の有限被覆性について  
名前:初学者    日付:2017年08月09日(水) 23時07分
誤 B={(x,y)|x^2+y~2<1} 
正 B={(x,y)|x^2+y^2<1}

誤 On={(x,y)|x^2+y~2<1/n} 
正 On={(x,y)|x^2+y^2<1/n}

です.失礼しました.
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51649.単位円(開集合)の有限被覆性について  
名前:初学者    日付:2017年08月09日(水) 23時03分
B={(x,y)|x^2+y~2<1}として
Bはユークリッド距離が適用されている,距離空間とします.
この時何故Bは有限被覆性を持たないのでしょうか
On={(x,y)|x^2+y~2<1/n}として
可算開被覆{O1,O2,...On,..}を考えることで,
B = O1 ⋃ O2 ...⋃ On ⋃ ... です.
このときBは有限個の開集合によって覆われる.
つまり
B = O1
が成り立つので
Bは有限被覆性を持つはずです.

教えてください,お願いします
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