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51646.Re: X上の対称群  
名前:tachikawa    日付:2017年08月08日(火) 07時24分
(逆も成り立つことが) 証明できそう, という意味でした.

では参考までにAndreas Blass氏のコメントを元にした (というかほぼそのままですが) 証明を書いておきます. 集合 A の濃度を |A| とかきます.

X を無限集合とする. {1} でない S(X) の共役類のうち {1} を除いて濃度が最小のものを考えると, (そのようなものが存在し, ) その濃度は |X| に一致することを示す. (これが示せれば, S(X) と S(Y) が同型のとき |X| = |Y| となることがわかる.)

まず, 濃度が |X| の共役類は確かに存在する: X の 2 つの元だけを交換し, 他の元を固定するような置換全体である. (これの濃度は |X| 以上 |X×X| 以下であることが容易にわかるが, 選択公理を仮定すると任意の無限集合 X に対し |X|=|X×X| であることが知られている.)

逆に C を {1} でない S(X) の共役類としたとき, |C|≧|X| であることを示せば証明が終わる. π∈C を1つとる. π≠1 より π(x)≠x なる x∈X がとれる. このとき, 任意の
y∈X-{x} に対し, σ_y∈S(X) を π(x) と y のみを入れ替え, その他を固定するような置換とする. (とくに σ_y(x)=x に注意.) このとき σ_yπσ_y^{-1} は π の共役類であって x を y に送るようなものである. したがって, 異なる y∈X-{x} の元は異なる π
の共役類を与える. とくに, π の共役類の濃度は |X-{x}|=|X| (選択公理のもとで無限集合から1つの元を取り除いても濃度は変わらない) 以上である.
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51645.Re: X上の対称群  
名前:たたら    日付:2017年08月08日(火) 00時38分
tachikawaさん 回答してくださり,非常にありがとうございます.
当方 英語は苦手ですが, 辞書と首っ引きで何とか理解したいと思います.

本当に逆は成り立たないみたいですね・・・
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51644.Re: X上の対称群  
名前:tachikawa    日付:2017年08月08日(火) 00時12分
参考までに:
https://mathoverflow.net/questions/12943/can-the-symmetric-groups-on-sets-of-different-cardinalities-be-isomorphic

私はどれもちゃんと読んでませんが、Andreas Blass氏のコメントの方針でやれば、少なくとも選択公理を前提にすれば証明できそうです。
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51635.X上の対称群  
名前:たたら    日付:2017年08月06日(日) 21時42分
X,Y :無限集合 , S(X),S(Y):X上の対称群,Y上の対称群 とします.このとき,
XとYの濃度が等しい ⇒ S(X)とS(Y)は同型
が成り立ちますが, 逆が成り立たない場合があるのでしょうか?

そのような例を考えてみようにも全く思いつきません・・・
正直, 逆も成り立つように思えてなりません.
(質問者)
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「51635.X上の対称群」への返信


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