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51606.Re: 整数列  
名前:シドン    日付:2017年08月01日(火) 15時31分
[解答]:

A(m)={a(j)+j|1≦j≦m}(m≧1)とおく。
また、正の整数のうちa(j)+j(j≧1)の形で表せないものからなる集合をSとする。1∈Sである。
A(m),Sは共通部分を持たない。
Sが2016個以上の元を持っているとし、Sの2016番目に小さい元をLとする。
すると、集合A(L-2015)∪{k∈S|k≦L}は(L-2015)+2016=L+1個の元を持つが、一方でどの元もL以下であるから矛盾。
よって、Sの元の個数は2015以下である。
Sの最大元をN,Sの元の数をb(1≦b≦2015)とおく。
mをN<mなる整数とする。
集合S∪A(m)の元の数はm+bであり、どの元もm+2015以下である。
整数kが1≦k≦m+1,kはSに含まれないとすると、a(i)+i=kなる正の整数iがあるが、i=k-a(i)≦(m+1)-1=mよりk∈A(m)となる。
よって、集合S∪A(m)は以下の元からなる。
⚫1以上m+1以下の整数すべて。
⚫m+2以上m+2015以下の整数のうちb-1個。
☆Σ[j=1~m+b,{j}]≦Σ[j∈A(m)∪S,{j}]≦Σ[k=1~m+b,{j}]+(b-1)(2015-b)
C=Σ[j∈S,{j}]-(b^2+b)/2とおき整理すると、
0≦Σ[j=1~m,{a(j)-b}]+C≦(b-1)(2015-b)
下から、7行目以降(☆印から下)が分からないのですが、詳しい解説をお願い致します。
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51605.整数列  
名前:シドン    日付:2017年08月01日(火) 14時54分
整数からなる数列 a(1),a(2),・・・は以下の条件を満たしている。
(i) 任意のj≧1について1≦a(j)≦2015
(ii)任意の1≦k<lについてk+a(k)≠l+a(l)
このとき、正の整数b,Nが存在し、n>m≧Nを満たす任意の整数m,nに対して、
|Σ[j=m+1~n,{a(j)-b}]|≦1007^2
が成り立つことを示せ。
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