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51588.Re: 線形代数  
名前:カッティ    日付:2017年07月29日(土) 20時25分
こんばんは。符号が逆(Σa >= Σx'Ax)になりますが、
主成分分析の補題に良く似ていましたので、
教科書の丸写しですがよければどうぞ。


~~~~~~~~~~
対称行列Aのすべての固有値をa1>a2>〜>an>=0とする。
Λは対角成分a1〜anの対角行列とする。
正規直交系のベクトル達をx[j], j=1〜r, r<nとする。

Aはある直交行列Pにより対角化され、
Λ=P'AP=P'AP

x[j]=P*y[j] j=1〜rと置くと、
y[j]=P'x[j] j=1〜rは正規直交系のベクトルになる。
行列YをY=[y[1],..,y[r]]としij成分をy[i][j]とすると、
Σ[i=1〜n]y[i][j]^2=1
Σ[j=1〜r]y[i][j]^2<=1 (n=rのとき等号が成り立つ。)

Σ[j=0〜r] x'[j]Ax[j]
=Σ[j=0〜r] y'[j]P'APy[j]
=Σ[j=0〜r] y'[j]Λy[j]
=Σ[j=0〜r] a1*y[1][j]^2 + a2*y[2][j]^2 + ... + an*y[n][r]^2
=Σ[i=0〜n] ai*(y[i][1]^2 + y[i][2]^2 + ... + y[i][r]^2) (<= Σ[i=0〜n] ai)
r<nのとき固有値に重み係数mi=Σ[j=0〜r]y[i][j]^2, i=1〜nが付いている和に見なせる。
明らかに、mi<=1 Σmi=rである。
=m1*a1 + m2*a2 +...+ mn*an
m1=1,m2=1,...mr=1,m(r+1)=0,...m(n)=0のとき最大値(a1+...+ar)をとることがわかる。
(馬鹿猫/回答者)
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51549.線形代数  
名前:    日付:2017年07月21日(金) 13時32分
xを正規直交系のベクトルとして、aをエルミート行列Aの固有値とする。
全てのaの和  <= x'ax(x'をxの転置とする)となる事を証明せよ
i222-150-23-21.s42.a013.ap.plala.or.jp (222.150.23.21)
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「51549.線形代数」への返信


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