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51562.Re: 商環について  
名前:たたら    日付:2017年07月23日(日) 13時39分
大変ありがとうございました.

数学に対する取り組み方もご教示していただき, 勉強方法をきちんと変えていこうと思います. それでも理解不能なところがあれば, またいずれ質問させていただきます.
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51561.Re: 商環について  
名前:黄桃    日付:2017年07月23日(日) 09時08分
たたらさん。
私はもう最初の記事ですべて述べました。それについてわからないことがあれば答えます。

後の2つの質問の答はいずれも「はい」です。
しかし正しいかどうかは自分の頭で判断するべきことであり、他人に判定してもらうものではありません。そうでないと、これからやっていけません。

#もちろん、自分で考えた結果誤ってしまうこともあるわけですが、
#もっと先まで行ったときに「あれ?」と気づくことになります。
#でも自分で考えたことは財産なので、どこをどう修正すればいいかも
#考えることができます。人に教わったのではこれができません。
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51558.Re: 商環について  
名前:たたら    日付:2017年07月22日(土) 20時55分
黄桃さんのご助言通り, まずは自分で3時間20分ほど深く考えてみました.

黄桃さんの仰る「(2,3)/(0,1)と等しいS^(-1)Rの元は何だろうか」の部分は
(2,3)/(0,1) = (7,-3)/(0,-1) = (35億,3)/(1,1) などでよろしいでしょうか?

また, この場合の積閉集合SをS1とS2の直和で表そうと思うと
S1={1,0} , S2={1, -1} で良いのでしょうか?
(質問者)
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51557.Re: 商環について  
名前:たたら    日付:2017年07月22日(土) 13時32分
お返事、しばしお待ちください。

〜沈思黙考中です〜
(質問者)
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51555.Re: 商環について  
名前:黄桃    日付:2017年07月22日(土) 09時30分
>直和の商環というものがイメージできません

イメージがわかなければ、具体的に考えましょう。

S^(-1)R の元は、(a,b)/(c,d) と書けます。ここで、(c,d)は Sの元です。
そして、S^(-1)R の2つの元 (a,b)/(c,d)と(x,y)/(z,w)が等しいとは、Sの元(p,q)によって、
(p,q)((a,b)(z,w)-(c,d)(x,y))=(paz,qbw)-(pcx,qdy)=0
つまり、
p(az-cx)=0 かつ q(bw-dy)=0
となることです。ここまでくれば直和の商環とはどんなものか考えやすいでしょう。

#一般に、A,Bが環、R=A(+)B, SをRの積閉集合, S1,S2をSのA,Bへの射影 とすれば、
#S1,S2はそれぞれA,Bの積閉集合であって、S^(-1)R=(S1^(-1)A)(+)(S2^(-1)B) です。
#同様に、A,Bが環、S1,S2がそれぞれA,Bの積閉集合, R=A(+)Bとすれば、S=S1(+)S2 もRの積閉集合であって
#S^(-1)R=(S1^(-1)A)(+)(S2^(-1)B) です。こういうことは自分で手を動かさないと身につきません。
#これがわかれば、結論はあきらかです。
##大学数学を勉強する気があるのでしたら、よほどの天才以外は受け身ではダメです。
##よくわからないと思えば、自分でいろいろな例を考えて当てはめてみましょう。
##この問題であれば、とりあえず「(2,3)/(0,1)と等しいS^(-1)Rの元は何だろうか」などと考えるべきです。

ここで、S={(1,1),(0,1),(0,-1)}ですからSの元は3つしかありません。
よって、上記(p,q)の可能性は3つしかなく、結局
「az=cx かつ bw=dy」 または「bw=dy」ということになり、まとめて、
(*) bw=dy
ということになります。

#Sに0が入るとS^(-1)Rは0になるのと同じです。

残った条件は右側のZにT={-1,1}という積閉集合をとって T^(-1)Z としているのと同じです。分母は1か-1ですから、これはZにほかなりません。

つまり、S^(-1)R の元(a,b)/(c,d)に b/d を対応させることで S^(-1)R と Z との間の同型写像が与えられます
(準同型、全射は明らかで、(*)より単射になるのです)。
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51548.商環について  
名前:たたら    日付:2017年07月21日(金) 12時29分
以下, ℤを有理整数環, U(ℤ)をℤの単元集合, 1_RはRの乗法単位元とする.

R=ℤ⊕ℤ(ℤの直和) , S=1_R ∪ {(0_ℤ, u) | u∊U(ℤ) } とおくとき, S^(-1)Rがℤと同型であるということが分かりません.
そもそも直和の商環というものがイメージできません・・・
(質問者)
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