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51574.Re: 大学数学 線形代数  
名前:カッティ    日付:2017年07月26日(水) 00時17分
Size: 26KB

偶然逆行列がでてきたので答え添付いたします。

【2】
@Ax1,...,Axn は線形独立ならば、Aは正則である。
対偶をとって、Aが正則でなければ、Ax_1,...,Ax_n は一次従属である。
Aが正則でないので∃x≠0 Ax=0
x1,...,xnが線形独立ならば、これはR^nの基底となり、
x=c1*x1+...+cn*xnとなる自明でない線形結合が一つだけ存在する。
0=Ax=A(c1*x1+...+cn*xn)=c1*Ax1+...+cn*Axn
Ax1,...Axnの自明でない線形結合が0となるのでこれは線形従属である。

AAは正則ならAx1,...,Axnは線形独立である。
c1*Ax1+...+cn*Axn=0のとき、
A(c1*x1+...+cn*xn)=0 Aは正則なので逆行列をもち、
c1*x1+...+cn*xn=0 x1〜xnは線形独立なので、これは自明な線形結合である。
Ax1,...,Axnの線形結合が0ならば自明であることが言えるので線形独立である。

【4】
(1)
@rankB ≧ rankAB
線形写像によりランクが増えることはないため、
ArankA ≧ rankAB
ImageA ⊃ ImageABであるため

(2)
Aのi,j成分をa[i][j]
Bのi,j成分をb[i][j]
とおき、題意の条件を満たすように
a[i][j]=b[i][j]/nかつ|b[i][j]|<1と置くとき、
Bのそれぞれの列から1/nを括り出し、
|detA|=|detB|/n^n となる。

行列式の定義式より、
detB=Σ[j1...jn] sgn(j1,...,jn) b[1][j1]*b[2][j2]*...*b[n][jn]
であるが、j1〜jnの選びかたはn!通りかつ、b[1][j1]〜b[n][jn]<1より、
|detB| < Σ[j1...jn] 1 < n!
∴|detA|<n!/n^n

(3)
a⊥a×b
b⊥a×b
より
線形結合が0のとき、すなわち
c1*a+c2*b+c3*(a×b)=0のとき、それぞれ内積を取って
(c1*a+c2*b+c3*(a×b), (a×b))=c3|(a×b)|^2=0よりc3=0
(c1*a+c2*b+c3*(a×b),a)=c1|a|^2+c2(a,b)=0
(c1*a+c2*b+c3*(a×b),b)=c1(a,b)+c2|b|^2=0

C=[(a,a),(a,b)][(a,b),(b,b)]とするとき
C[c1,c2]^t=0であり、
detC=(|a||b|)^2-|(a,b)|^2>0 (a,bが同じ方向(=線形従属)のとき=0になる)
よってCは正則行列であり
C[c1,c2]^t=0に逆行列を掛けるとc1=0,c2=0が言える。
c1=0,c2=0,c3=0より線形結合が自明であることが言えた。
(4)
R^nにおけるxの直和補空間をWとするとき、
Wの基底y1〜yn-1を一つ選べば、x,y1〜yn-1はR^nの基底となっている。
(馬鹿猫/回答者)
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51533.大学数学 線形代数  
名前:    日付:2017年07月18日(火) 19時16分
画像の問題の解き方を教えてください
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「51533.大学数学 線形代数」への返信


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