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51540.Re: 単項イデアル環の判定  
名前:IT    日付:2017年07月19日(水) 10時03分
Tさん、ありがとうございます。

>あと、Z[√-1] は体ではないと思います。
ご指摘の通りですね。
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51539.Re: 単項イデアル環の判定  
名前:T    日付:2017年07月19日(水) 09時25分
少し補足します。
元の質問通り、d が非平方数のとき Z[√d] が単項イデアル環かどうかを考えますと、

・d が平方因子を持たず d≡2,3 (mod 4) のときは黄桃さんの仰る通り。

・それ以外の場合、Z[√d] は正規環でなく、したがって単項イデアル環ではありません。
正規環でないことは、Q(√d) の整数環が黄桃さんの書いたものになるということからも分かりますし、
直接確かめることもできます。
例えば平方因子を持つ d=12 の場合、√3 は Z[√12] 上整ですが、Z[√12] に含まれません。
平方因子を持たず d≡1 (mod 4) である d=5 の場合、(1+√5)/2 は Z[√5] 上整ですが、Z[√5] に含まれません。
一般の場合もこれらと同様に確かめることができます。

それから、最近の文献でも雪江明彦の「整数論1:初等整数論からp進数へ」「整数論2:代数的整数論の基礎」で
扱われているので紹介しておきます。

あと、Z[√-1] は体ではないと思います。
(回答者)
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51538.Re: 単項イデアル環の判定  
名前:IT    日付:2017年07月19日(水) 00時31分
黄桃さん 回答ありがとうございます。
大変参考になりました。

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51535.Re: 単項イデアル環の判定  
名前:黄桃    日付:2017年07月18日(火) 23時57分
普通は
(1) dは平方因子を含まない(0でも1でもない)
(2) Z[√d]ではなくQ[√d]での整数(d≡1 mod 4 の時はZ[(1+√d)/2],そうでなければZ[√d])
として考えますので、ここでもこれらを仮定します。
するとこの問題は、イデアル類群の位数、すなわち、類数が1かどうか、ということと同じことになります。
これは一般には簡単ではなく、2次体の場合でも面倒です。以下のようなサイトや文献を参考にしてください。
簡単に結論だけ書くとd<0 の場合は有限個のdすべてがわかっていますが、d>0の場合はどのくらいあるか(無限にあるかどうかも)わかっていないようです。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB%E9%A1%9E%E7%BE%A4
https://en.wikipedia.org/wiki/Ideal_class_group
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_number_fields_with_class_number_one

古いですが高木「初等整数論講義」にもある程度載っています(手元の第2版では§51イデアルの対等および附録の数表)。
この方法なら具体的にdが与えられれば(根性さえあれば)計算できるでしょう。
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51524.単項イデアル環の判定  
名前:IT    日付:2017年07月19日(水) 14時03分
Zを有理整数環とします。
Z[√-1]={a+b√-1|a,b∈Z}は、単項イデアル環であり、
(「さらに体である」。Tさんのご指摘の通り、これは写し間違いです。原書にそのようなことは書いてありません。)
Z[√-5]={a+b√-5|a,b∈Z}は、単項イデアル環でない。
ことが、手持ちのテキスト「群・環・体 入門(新妻・木村)共立出版」に載っています。

一般の非平方数dについて、Z[√d]が単項イデアル環であるかどうか判別する方法はないのでしょうか?
Z[√-5]が単項イデアル環でないことの証明を見ると一般的な判別法は難しい気もしますが
 
その方法または,参考になるサイトやテキストなどがあればお知らせください。
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