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51528.Re: 数学検定1級  
名前:数学弱者    日付:2017年07月17日(月) 23時13分
確かに対数を取ればうまくいきますね!

本当にありがとうございます。
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51526.Re: 数学検定1級  
名前:T    日付:2017年07月17日(月) 18時15分
@x=y=z=0 のとき、不等式は成り立ち、等号も成立する。

Aそうでないとき、問題の不等式は
 (x^3+y^3+z^3)^(1/3)≧(x^4+y^4+z^4)^(1/4)
と同値であり、さらに自然対数をとって
 (1/3)*log(x^3+y^3+z^3)≧(1/4)*log(x^4+y^4+z^4)
とも同値である。ここで
 f(a)=(1/a)*log(x^a+y^a+z^a) (a>0)
とおく。f(a)は連続で
 f'(a)=(a(x^a*logx+y^a*logy+z^a*logz)-(x^a+y^a+z^a)*log(x^a+y^a+z^a))/(a^2(x^a+y^a+z^a))
である。f'(a) の正負を考える。

a(x^a*logx+y^a*logy+z^a*logz)
=x^a*log(x^a)+y^a*log(y^a)+z^a*log(z^a)
≦x^a*log(x^a+y^a+z^a)+y^a*log(x^a+y^a+z^a)+z^a*log(x^a+y^a+z^a))  …(*)
=(x^a+y^a+z^a)*log(x^a+y^a+z^a)

よって常に f'(a)≦0, したがって f(a) は(広義)単調減少であり、特に f(3)≧f(4)
これより問題の不等式が従う。

等号が成立するためには、3≦a≦4 のとき常に f'(a)=0 であることが必要十分。
f'(a)=0 となるのは (*) の等号が成立するとき、すなわち
x^a=0 または y^a+z^a=0
y^a=0 または x^a+z^a=0
z^a=0 または x^a+y^a=0
のときであり、これは x,y,z のうち丁度2つが 0 であることと同値。

@,Aより不等式は成り立ち、等号成立条件は x,y,z のうち2つ以上が 0 であることである。


「π^e と e^π の大小を比較せよ」という有名な問題があります。
上の解答は、この問題の解法を参考にして作りました。
(回答者)
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51518.数学検定1級  
名前:数学弱者    日付:2017年07月17日(月) 11時19分
数学検定1級のガイドブックに合った過去問題なのですが、分からないものがあるので質問しました。

・x≧0、y≧0、z≧0とする。この時、

(x^3+y^3+z^3)^4≧(x^4+y^4+z^4)^3

を示せ。また、等号成立条件も答えよ。

高校までの数学の問題なのか、大学数学の問題なのか、分からなかったので、数検1級が大学生・社会人向けということで、こちらにご投稿させていただきました。

ご回答よろしくお願いします。
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「51518.数学検定1級」への返信


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