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51559.Re: イプシロンデルタの基礎問題  
名前:たたら    日付:2017年07月22日(土) 21時04分
きちんとしたお礼が大変遅くなりました. 申し訳ありません.


親切に回答してくださった回答者の皆様に感謝の意を表するとともに
またの機会があればご助言を願う次第であります.(図々しいですが.)


この掲示板で質問をすると いつも自分の理解が浅かったことを思い知るとともに, より一層勉学に励む動機付けにもなるため非常に有意義に感じております.

重ねて回答者様の皆様に御礼申し上げます. 有り難うございました.
(質問者)
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51474.Re: イプシロンデルタの基礎問題  
名前:たたら    日付:2017年07月09日(日) 07時45分
難しい理屈など必要ないのですね.

確かに,背理法で示せていて少し驚いています.
(質問者)
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51473.Re: イプシロンデルタの基礎問題  
名前:IT    日付:2017年07月09日(日) 00時15分
|g(1)|=a>0 とすると a/2>0

任意のεとしてa/2をとると
|g(1)|=a<a/2

a/2<0 となり矛盾。

(aを介在させなくてもいいですが)
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51472.Re: イプシロンデルタの基礎問題  
名前:たたら    日付:2017年07月08日(土) 23時10分
たくさんの方に回答していただいて何だか恐縮です.


イプシロンデルタ論法はある程度学んだのですが, 任意のε>0 について |g(1)|<ε がいえるからg(1)=0 というのはそもそも何によって保証されているのでしょうか?

カントールの区間縮小法・・・でしょうか.
(質問者)
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51468.Re: イプシロンデルタの基礎問題  
名前:TanTan麺    日付:2017年07月08日(土) 17時01分
横から失礼します。
全く蛇足になるのですが。

多項式関数であるということを無理に使おうというのなら、多項式が(可算)無限個の根を持つ場合はどんな多項式か?という方針もあるかと思います。
代数学の基本定理より簡単な、「n次多項式(n≧1)はたかだかn個の根を持つ」で充分でしょう。

しかし、その場合は解析の問題ではないですね。(少なくとも表題のイプシロンデルタと関係なくなります。)
こんな方法でもあんな方法でも関数を決定できるよということでしょうか?

>>|g(1)|>0 として,矛盾
私も連続関数・中間値の定理から矛盾というのが真っ先に浮かんだので、多項式関数という条件にちょっと違和感があります。
(馬鹿猫)
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51467.Re: イプシロンデルタの基礎問題  
名前:IT    日付:2017年07月08日(土) 14時55分
>多項式関数は連続関数ゆえに
>∀ε>0, ∃δ(ε)>0 s.t. |x-1|<δ(ε) ⇒ |g(x)-g(1)|<ε
>が成立するのでg(1)=0である.

これを活かして、少していねいにするなら、

∀ε>0, ∃δ(ε)>0 s.t. |x-1|<δ(ε) ⇒ |g(x)-g(1)|<ε
ここで|a-1|<δ(ε) かつa≠1なるaをとるとg(a)=0. (たとえばa=1+δ(ε)/2)
よって|0-g(1)|<εすなわち|g(1)|<ε.

したがってg(1)=0.

基礎の演習の場合は、細かい点に、「なぜ?」と突込みが入るかも知れません。
その都度、答える必要がありますが、どんな「なぜ?」が来るかは、講師の思惑を忖度するしかないと思います。

なお「多項式関数は連続関数である」を示す必要があるかどうかは、授業と出題の流れによると思います。
(f(x)=xの連続性、連続関数の積・定数倍・和が連続であることを使えば容易です)
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51465.Re: イプシロンデルタの基礎問題  
名前:ぽけっと    日付:2017年07月08日(土) 12時30分
それはそうと,(すでに質問者含む誰もが言っていることですが)多項式であることは本質ではなく連続関数であることが本質的なので,「イプシロンデルタの基礎問題」として出すには悪問ですね

はじめから「連続関数g(x)が・・・」とする方が自然です
それとも単体で出された問題ではなく前後の文脈があるのでしょうか

ps.
あえて多項式であることを使うならx→±∞での挙動で零射かそうでないかを分類するというやり方もあります
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51461.Re: イプシロンデルタの基礎問題  
名前:鳴瀬    日付:2017年07月08日(土) 11時51分
忖度の問題じゃないでしょうか。草
>多項式関数g(x)が1以外の全ての実数上で0となるとき, x=1においてもg(x)=0となることを示したい,,,
誰かに「何故ですか?」との返答としての「解答」ならばそれで十分だと思います。勿論,相手側の力量次第でその後の補足が必要な場合もあるかもしれませんが。
試験や課題に対する「解答」ならば出題者の意図を汲み取って解答を「作成」するしかないわけで,その状況判断はたたらさんのみ知る,ですね。本問に限らず常に悩ましいですぅ。
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51460.Re: イプシロンデルタの基礎問題  
名前:ぽけっと    日付:2017年07月08日(土) 11時40分
少なくとも数学的には

「多項式関数は連続関数ゆえにg(1)=0である」

で何ら問題ないと思います
ただし "イプシロンデルタの基礎問題" としては出題者の意図から外れているのかもしれません

もう少し詳しくかけば
1+1, 1+1/2, 1+1/3, ..., 1+1/n, ...
という点列が1に収束する点列で,かつg(1+1/n) = 0です.
よって lim_{n→∞} g(1+1/n) = 0
またgの連続性より lim_{n→∞}g(1+1/n) = g(lim_{n→∞}(1+1/n)) = g(1)
なのでg(1) = 0です

もちろん多項式の連続性も,まだ証明してないのなら示す必要がありますが,これは連続関数の積や和が連続であることを利用すればすぐですね
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51457.Re: イプシロンデルタの基礎問題  
名前:IT    日付:2017年07月08日(土) 09時20分
|g(1)|>0 として,矛盾を示すのでは。
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51456.Re: イプシロンデルタの基礎問題  
名前:たたら    日付:2017年07月08日(土) 09時05分
多項式関数は連続関数ゆえに
∀ε>0, ∃δ(ε)>0 s.t. |x-1|<δ(ε) ⇒ |g(x)-g(1)|<ε
が成立するのでg(1)=0である.

では どうでしょうか?

もしかして, |x-1|<δ(ε)なるxが任意のεごとに存在することを言わないといけませんか?
(質問者)
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51455.Re: イプシロンデルタの基礎問題  
名前:IT    日付:2017年07月08日(土) 08時40分
>・・・という解答ではだめでしょうか?
ダメだと思います。
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51453.イプシロンデルタの基礎問題  
名前:たたら    日付:2017年07月08日(土) 07時18分
多項式関数g(x)が1以外の全ての実数上で0となるとき, x=1においてもg(x)=0となることを示したいのですが, 「多項式関数は連続関数ゆえにg(1)=0である」という解答ではだめでしょうか?

イプシロンデルタ論法を使ってきちんと考察&証明すべきなのでしょうか.
(質問者)
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