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51743.Re: カントールの対角線論法  
名前:あん    日付:2017年09月14日(木) 19時07分
1-2
はい。R→(0,1]は単射でないとまずいです。。
すみません、私が与えた関数は単射ではないですね。らすかる様ありがとうございます!!

1-1
因みに、
(0,1]⊆Rより、
(0,1]の元の数≦Rの元の数と言うことも、

(0,1]からRへの単射f(x)=x を与えていると見れます。

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51737.Re: カントールの対角線論法  
名前:らすかる    日付:2017年09月12日(火) 12時17分
単射でないとまずいですね。
R→[0,1)の単射である f(x)=x/(2|x|+1)+1/2 で十分でしょう。

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51736.Re: カントールの対角線論法  
名前:カッティ    日付:2017年09月12日(火) 11時17分
あん様
> ★1-2★
> R→[0,1)が存在するので
> Rの数≦[0,1)の数
ひょっとしてR→[0,1)は単射でないといけないのではないでしょうか。

【参考】https://mathtrain.jp/noudo
3:集合AからBへの単射が存在するとき,|A|≤|B| とする
(馬鹿猫/質問者)
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51733.Re: カントールの対角線論法  
名前:カッティ    日付:2017年09月11日(月) 20時51分
あん様
ありがとうございます。

★1-1★
[0,1)⊂Rなので
[0,1)の数≦Rの数
★1-2★
R→[0,1)が存在するので
Rの数≦[0,1)の数

★1-1★があるので[0,1)→Rは考えなくても良いという認識です。
すごく簡単な写像★1-2★だけで対応がとれて驚きです。

あまり関係ないことですが、
ちょうど教科書の読んでいる箇所に、リーマン球面がでてきて、
球面と複素数との対応がでてきています。
(馬鹿猫/質問者)
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51731.Re: カントールの対角線論法  
名前:あん    日付:2017年09月11日(月) 16時49分
カントールの対角線論法についてコメントさせて頂いた あんです。
すみません、あとから見直してみると、私の回答はところどころ言葉遣いがおかしく、誤植もあります。にもかかわらず、投稿キーの設定をしておらず、大変申し訳ございません。
(大学 4 年)

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51727.Re: カントールの対角線論法  
名前:あん    日付:2017年09月11日(月) 08時43分
不眠症ガチ引きこもりニートコミュ障学生のあんです。つづきです。

さらに、今以下が成立します。

2. (0, 1]実数の数≠ 自然数の数 となります。←カッティ様の質問に書かれていた証明はこの部分です。
この証明は背理法で、証明します。

証明: (0, 1]実数の数=自然数の数 と仮定します。
このとき、(0, 1]実数の数 と自然数の数は、一対一に対応がつきます。

だから、(0,1]実数の数を、{a1, a2, ...}とします。今、各anは実数なので、
小数で表せます。その小数は、0.◯△×...の形をしています。だから、◯△×の部分は二進数に変換できます。二進数に変換してみます。

カッティさまの言葉だと、正則二進数展開し、
a1=0. a[1.1]a[1.2]a[1.3]...
a2=0.a[2.1]a[2.2]a[2.3]...
a3=0.a[3.1]a[3.2]a[3.3]...
a4=0.a[4.1]a[4.2]a[4.3]...
......
とします。
ここで、各a[n, n]について、a[n.n]と0, 1を反転させた数
b=0.b0 b1 b3...(bin=a[n, n]+1 (mod 2))をとります。
このbは、a1, a2, a3,...のどの数とも異なります。

だって、anの第n成分a[n, n]とbの第n成分 a[n, n]+1 (mod 2) は異なる値ですから。

ゆえに、a1, a2,a3,..,どの値とも異なる実数bがあるので、
実数の値{a1,a2,a3,...}と自然数全体は、一対一に対応しません。

証明のコメント:←読み飛ばしてもいいです。
どんな風に、(0,1]実数の値、{a1, a2.,,,}をとっても、このようなbが絶対とれます。ゆえに、どんなに頑張って(0,1]実数の値を自然数の値に対応させようとしても絶対にできません。

ゆえに矛盾します。
よって、背理法より、.(0,1]実数の数≠自然数の数
となります。


(ゆえに、1, 2より、(0,1]実数の数>自然数の数 となります。)
証明終わり

コメント:
対角線論法を一言で言うと、
a1=0. a[1.1]a[1.2]a[1.3]...
a2=0.a[2.1]a[2.2]a[2.3]...
a3=0.a[3.1]a[3.2]a[3.3]...
a4=0.a[4.1]a[4.2]a[4.3]...
......

の各a[n,n]を反転させ各bnをつくり
b=0.b1b2 b3,...をつくる証明、と言うことになります。

そして、背理法の仮定に矛盾させます。

私が書いた証明が長くて、読むのが面倒なら、その一言だけを心に留めて、ご自身で考えられたらいいと思います。

何かご質問がありましたら、何でも聞いて下さい。

私は、この1週間はアパートで引きこもり生活する予定です。
(大学 4 年/回答者)

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51725.Re: カントールの対角線論法  
名前:あん    日付:2017年09月11日(月) 07時29分
不眠症ガチ引きこもりコミュ障学生のあんです。続きです。
さらに今、
実数の数≧自然数の数 となります。
理由:今、自然数の数ならば実数の数、となります。だから、実数の数は自然数の数以上です。

以上より、(0,1]実数の数=実数の数≧ 自然数の数となります。

(1. (0, 1]実数の数≧自然数の数 の証明終わり)

となります。つづきます。
(大学 4 年/回答者)

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51724.Re: カントールの対角線論法  
名前:あん    日付:2017年09月11日(月) 07時16分
カッティ様

不眠症ガチ引きこもりニート学生のあんと申します。
えっと、カッティ様は、
(0, 1]の実数の数 > 自然数全体の数
をカントールの対角線論法を使って証明したいんですよね?
カッティ様の言葉を使って
(0, 1]実数の数>自然数の数 の証明を丁寧に解説すれば以下のようになります。

1、(0, 1]実数の数≧ 自然数の数 の証明 ←教科書の証明では、ほぼ確実に省略されます。かナッティ様が書いてくれた質問の証明でも省略されて書かれていません。

今、(0, 1]実数の数 =実数の数 となります。

理由:以下の1-1、1-2が成り立つから。
1-1(0.1]の実数の数 ≦ 実数の数となる。
理由: (0, 1]実数の数ならば実数の数、なので、(0,1]実数の数は実数全体の数以下になります。
1-2:(0,1]実数の数≧ 実数の数 となる。
理由: 実数の数は、小数◯△×.abc..の形でかけます。
これは、(0,1]実数の数0. ◯△×.abc...に対応できます。
つまり、どんな実数の数も、(0,1]実数の数に対応します。だから、(0,1]実数の数の方は、実数の数以上になります。

よって、1-1, 1-2より、(0,1]実数の数=実数の数
となります。つづきます。
(大学 4 年/回答者)

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51301.Re: カントールの対角線論法  
名前:カッティ    日付:2017年06月09日(金) 21時07分
ぽけっと氏様、ありがとうございました。
いろいろと意味不明の質問をしてすみません。

最終的に次のように理解しました。
自然数と1対1に対応が付いた"の時点⇒すでに加算無限個存在する

I) [0,1)を埋め尽くす数列{a_n}があるとする(この時点で数列{a_n}は固定して考えます)
{a_1,a_2,...,a_n,...}
II) この数列{a_n}に含まれない[0,1)の元を構成.よって矛盾
b=0.b_1 b_2...b_n... (b_i≠a_[i,i])

また間違った理解をしていたら申し訳ありません。
(馬鹿猫/質問者)
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51300.Re: カントールの対角線論法  
名前:ぽけっと    日付:2017年06月09日(金) 18時32分
>> a_(n+1)=bとすれば、なぜいけないのかわかりません。

端的でわかりやすい質問です
答えは「数列{a_n}は"今、それらが自然数と1対1に対応が付いた"の時点ですでに決定しているので,後から書き換えることはできないから」です

論理の流れとしては
I) [0,1)を埋め尽くす数列{a_n}があるとする(この時点で数列{a_n}は固定して考えます)
II) この数列{a_n}に含まれない[0,1)の元を構成.よって矛盾
という流れです
もっと言えば,このI),II)さえ矛盾なく言えば証明としては終了していて
「I) で {a_n}を固定して考えて II)の段階で含まれない元を構成してから,やっぱり固定したはずの{a_n}を修正」という操作自体は不要かつ無意味です.その操作によって{a_n}が元bを含むようになったとしても,だからどいうということはありません.
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51299.Re: カントールの対角線論法  
名前:カッティ    日付:2017年06月09日(金) 17時52分
数学基礎論はやっていないので、議論を深く掘り下げられません。

■カントールの対角線論法
[0,1)の実数が自然数より多い。今、それらが自然数と1対1に対応が付いた
とすれば、[0,1)の全体を{a_1,a_2,...}のように表示できる。
a_nを正則二進展開する
a_n = 0.a_[n.1], a_[n,2],...,a[n,n],...

さて、b∈[0,1)で、その正則二進展開0.b_1,b_2,... (b_k=a_[k,k]+1 mod 2)
となるものをとるとbは、
a_1 = 0.a_[1.1], a_[1,2],...,a[1,n],...
a_2 = 0.a_[2.1], a_[2,2],...,a[2,n],...

a_n = 0.a_[n.1], a_[n,2],...,a[n,n],...

に含まれていないので不合理。

★質問
a_(n+1)=bとすれば、なぜいけないのかわかりません。


> (一般に正しいとされている)その主張が間違っていると思うのなら反例などその根拠を数学の言葉で書く
偶数の議論とカントルの対角線論法が似ていたので、偶数の議論を、自然数と1対1で対比させる方法でなく、
対角線論法になぞらせたときに、どこが間違っているかわかりません。
(その主張が間違っているとおもわないです。)

■偶数の議論
偶数を昇順に0から2nまでならべたとき、
x_0=0, x_1=2 ,..., x_n=2n
x=x_0+x_1+...+x_nは{x_0, x_1, ... , x_2n}に含まれていない。


> 2^nあるのは0 or 1ですがこれを列挙することに何の意味があるのでしょう。
連続体仮説や濃度などわからないです。偶数の場合と綺麗に対比できたと一瞬思いましたが、
意味はなかったと思います。

> 「m=log2(n)桁」とありますがmは自然数なんですか?
個人的な解釈なので簡単に議論するために、mは自然数と解釈してもらおうと思いました(n=2^m)。
同じく、連続体仮説や濃度などわからないです。
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51286.Re: カントールの対角線論法  
名前:ぽけっと    日付:2017年06月09日(金) 11時55分
>> カントールの対角線論法について教えて頂きたいという質問です。

あの質問の仕方でそれを読み取れというのは不可能です


>> よくわかっていないですが、Ascoli-Arzelaとか言う定理にも使われていて巧妙だと書かれていました。

全く関係ない話です.よく分かってないなら書くべきではないです


>> ある本によると、2進展開したときに無限桁あるのがみそだとか、書かれていました。

2進展開して有限桁ならそれは有理数ですので当たり前の話です


>> ■カントールの対角線論法

この後のカントールの対角線論法とは関係なく,かつ意味不明な4行の文章を見て何を思えと言うのでしょうか
全体的に意味のない文章ですが,とくに「すべてを列挙すると2^n個ある」の部分
2^nあるのは0 or 1ですがこれを列挙することに何の意味があるのでしょう
先の回答でも書きましたが数学を理解していないのなら曖昧な言葉を使わずに「写像」「集合」「含む」「含まれない」などで表現してください
「列挙する」ではなく どの集合(自然数全体?)からどの集合([0,1)?)への写像(単射?)を考えているのかはっきり述べて下さい
「パラメータ」という言葉の使用も回答者だけでなくあなた自身を混乱させているだけです
実数なのか 自然数なのか
いずれにせよ使わなくてもいい言葉のはずです.言い換えて下さい


>> ■偶数

こちらも意味のない文章になっているので上と同様に数学の言葉に言い換えてください
「m=log2(n)桁」とありますがmは自然数なんですか? log2(5)桁ってなんですか?


いずれにせよこのままでは全く質問になっていない(数学というよりは国語力の問題でですが)ので,全て数学の言葉になおして再度質問してください
さらに言えばよくわかっていない(その上無関係な)ことをぐだぐだ書くのではなく聞きたいことを命題形式にして端的に聞くのがはやいです

すなわち以下の形式で書く
* まず聞きたい数学的主張(命題)を書く
* その証明が理解できないのなら証明を書いた上でどこが理解できないのかを書く
* (一般に正しいとされている)その主張が間違っていると思うのなら反例などその根拠を数学の言葉で書く
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51285.Re: カントールの対角線論法  
名前:カッティ    日付:2017年06月09日(金) 10時17分
>まず、カントールの対角線論法は微塵も関係ないです
>(それがよく分かってないとは書かれていますが、カントールの対角線論法について教えてくれという質問ではないですよね)
カントールの対角線論法について教えて頂きたいという質問です。
よくわかっていないですが、Ascoli-Arzelaとか言う定理にも使われていて巧妙だと書かれていました。
ある本によると、2進展開したときに無限桁あるのがみそだとか、書かれていました。

■カントールの対角線論法
それらの二進小数点n桁まで着目すると、
a_kはパラメータn個(n桁)、a[k,1]〜a[k,n]∈{0,1}を含む。
すべてを列挙すると2^n個あるので(a_1〜a_n)に含まれないものが存在する。
⇒うまくパラメータをとれば、列挙できてしまうことはないでしょうか。

■偶数
偶数を昇順に0から2nまでならべたとき、
それらを二進数でm=log2(n)桁まで着目すると、
x_kはパラメータm個、x[k,1]〜x[k,m]∈{0,1}を含む。
x_0=(x_[0,m] x[0,m-1]+...x[0,1])*10
x_1=(x_[1,m] x[1,m-1]+...x[1,1])*10
...
x_n=(x_[n,m] x[n,m-1]+...x[n,1])*10

すべてを列挙すると2^log2(n)個=n個あるので(0から2n)に
含まれないものが存在しない。
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51280.Re: カントールの対角線論法  
名前:ぽけっと    日付:2017年06月08日(木) 20時53分
>> とすれば、x=x_0+x_1+x_2+...

右辺の扱いが雑すぎます
どうみても収束しないのでこのxが偶数のリストから洩れようが洩れまいが(偶数全体が可算かどうかに関しては)どうでもいいことです


ps.
質問の仕方が下手すぎると感じます
まず、カントールの対角線論法は微塵も関係ないです
(それがよく分かってないとは書かれていますが、カントールの対角線論法について教えてくれという質問ではないですよね)
不要なことは書かずに端的に質問するほうが回答がつきやすいです

さらに言葉を適当に使いすぎです
たとえば「リスト」など
よく分かっている人が数学用語を言い換えるのは問題ないのですが、そうでないのならもっと厳密に定義された数学の言葉で書くべきです
慣れない内は「リスト」、「洩れる」ではなく「写像」「成り立つ」「含まれない」などの言葉を使うべきです

言葉の意味を確認し、自分が定義した用語や変数がそもそも正しく定義されているのか
を確認すれば今回の疑問もすぐ解消する(というかそもそも湧かない)ハズです
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51277.カントールの対角線論法  
名前:カッティ    日付:2017年06月08日(木) 16時56分
カントールの対角線論法は、教科書をそのまま暗記しているだけで、
細かいことはよくわかりません。
偶数が表から洩れているので可算無限でないと言われたら、
どうやって反駁すれば良いのでしょうか。

ご教授のほど、よろしくお願いいたします。


■カントールの対角線論法
[0,1)の実数が自然数より多い。今、それらが自然数と1対1に対応が付いた
とすれば、[0,1)の全体を{a_1,a_2,...}のように表示できる。
a_nを正則十進展開する
a_n = 0.a_[n.1], a_[n,2],...,a[n,n],...

さて、b∈[0,1)で、その正則十進展開0.b_1,b_2,... (b_k=a_[k,k]+1 mod 10)
となるものをとるとbはリスト
a_1 = 0.a_[1.1], a_[1,2],...,a[1,n],...
a_2 = 0.a_[2.1], a_[2,2],...,a[2,n],...

a_n = 0.a_[n.1], a_[n,2],...,a[n,n],...

から洩れているので不合理。


■偶数のリスト
x_0 = 0
x_1 = 2
x_2 = 4
x_3 = 6
...
とすれば、x=x_0+x_1+x_2+...
がリストから洩れている。
(馬鹿猫/質問者)
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