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50937.Re: ボレル可測関数かどうかの判定  
名前:EL    日付:2017年04月24日(月) 08時28分
任意の開集合の引戻しが、高々1点の違いを除いて開集合になるので(一般にこのような高々1点を除いて連続な関数は、ほぼ自明に)Borel可測関数です


* 開集合に1点付け加えた集合はBorel可測集合
という常識の元で。
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50936.Re: ボレル可測関数かどうかの判定  
名前:sphere    日付:2017年04月24日(月) 05時59分
おはようございます。

私はボレル可測だと思います。sin(1/0)に意味がつかないから難しいんですね。
だけど、ボレル可測な関数列の各点収束極限として与えられる関数も
ボレル可測であることを思い起こすと・・・。

[証明]
・集合Aに対して、I_{A}でその指示関数を表す。
・R+:=(0,∞)、R-:=(-∞,0)。

自然数nに対して、関数f[n]を
f[n](x)=sin(1/max(x,1/n))I_{R+}+sin(1/min(x,-1/n))I_{R-}(x)+I_{{0}}(x)
で定める。f[n]はボレル可測な関数である(これは自分でチェックしてみて下さい)。

x>0に対して、lim[n→∞]max(x,1/n)=x、
x<0に対して、lim[n→∞]min(x,-1/n)=x

であるから、任意のxに対して、lim[n→∞]f[n](x)=f(x)である。
以上より、fはボレル可測である。
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50913.ボレル可測関数かどうかの判定  
名前:東西南北    日付:2017年04月18日(火) 18時24分
f:R→R を
x≠0のとき、f(x)=sin(1/x)
x=0のとき、f(x)=1
で定める.
このfはボレル可測関数ですか?
証明もよろしくお願いします.
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