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50899.Re: 線形代数計算  
名前:雨曝し    日付:2017年04月12日(水) 16時16分
WIZさん

お礼が遅くなって申し訳有りません。

話の腰を折ってしまうのも悪いと思い、一度削除しました。

この度は、問題を解決してくださりありがとうございました。
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50897.Re: 線形代数計算  
名前:WIZ    日付:2017年04月11日(火) 16時41分
# あれ? スレ主さんが解決した様な書き込みをしていましたが、削除されていますね。

astさんの書き込みから、スレ主さんの疑問がどう解決するのかイマイチ分かりません。
# 私は他人にツッコミ入れて、ツッコミ返しされて大恥かく常習犯ですが、
# 今回も恥を気にせず、もとい、恥を恐れずツッコミ質問させて頂きます。

行列やベクトルの積で結合法則は成立するとして、Aが正方行列で、vはベクトルですが、
Avという積(?)が計算できる以上、vは縦ベクトル(列ベクトル?)ということですよね?
つまり、t(v)は横ベクトル(行ベクトル?)ということになりますよね?

・・・とすると、「t(v)Av = vt(A)t(v)」という式の意味が分かりません。
縦ベクトルvと正方行列t(A)の積は計算できないし、
また、正方行列t(A)と横ベクトルt(v)の積も計算できないし・・・。

そんな細かいこと気にせず、vもt(v)も同じベクトルなんだ! と解釈して、v = t(v)としてみると、
題意よりA = t(A)なので、「t(v)Av = vt(A)t(v)」は「vAv = vAv」という無意味な式になってしまいます。

もう一つ。
「スカラーなので左辺と左辺の転置が等しく, この転置はとりもなおさず右辺のこと」は
「t(v)Av = vt(A)t(v)」において、一方の辺は他方の辺の転置になっているという意味でしょうか?

行列やベクトルの積の転置は、t(ABC) = t(C)t(B)t(A)ですから、
t(t(v)Av) = t(v)t(A)t(t(v)) = t(v)t(A)vですし、
t(vt(A)t(v)) = t(t(v))t(t(A))t(v) = vAt(v)ですから、
一方の辺は他方の辺の転置になっているとは言えないのでは?

増してや「t(v)Av = vt(A)t(v)」が意味のある正しい式だと仮定しても、
そこからどうやって(Av, v) = (v, t(A)v)という関係が導けるのでしょうか?
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50896.Re: 線形代数計算  
名前:ast    日付:2017年04月11日(火) 14時10分
> 「(Av,v)=(v,tAv)=(v,Av)」という順番に書くことには私も違和感があります。
要するに二次形式 t(v)Av = vt(A)t(v) の話 (スカラーなので左辺と左辺の転置が等しく, この転置はとりもなおさず右辺のこと) ですから, 私は違和感全くないです. むしろ, A が対称行列でないときも (Av,v)=(v,t(A)v) は成り立つので,
> 「(Av, v) = (v, Av) = (v,(t(A))v)」と書くべきかも。
のほうに違和感を覚えます.
# 複素成分の場合も, 内積はユニタリ内積で転置は随伴になりますが, 同様に (Av,v)=(v,A^*v) です.

### 何となく自分が話を勘違いしてるだけのような気もしてきたが……
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50895.Re: 線形代数計算  
名前:WIZ    日付:2017年04月11日(火) 13時09分
ベクトルの内積は可換ですので(外積は非可環ですが)、
(Av, v) = (v, Av)
です。

Aは対称行列ですからA = t(A)なので、
(v, Av) = (v, (t(A))v)
ですね。

「(Av,v)=(v,tAv)=(v,Av)」という順番に書くことには私も違和感があります。
「(Av, v) = (v, Av) = (v,(t(A))v)」と書くべきかも。
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50894.線形代数計算  
名前:雨曝し    日付:2017年04月11日(火) 12時00分
tAは行列Aの転置、vはベクトルとします。(x,y)はxとyの内積です。

Aが対称行列のとき、(Av,v)=(v,tAv)=(v,Av)と教科書に計算が載っているのですが、
なぜ(Av,v)=(v,tAv)と計算ができるのか分かりません。
わかる方教えていただけませんでしょうか。よろしくお願いします。
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